一点五维的巴赫：巴赫与数字的随想

马慧元

一

一九七九年，一本叫作GEB（G?del， Escher， Bach： An Eternal Golden Braid，中译《哥德尔，艾舍尔，巴赫：集异璧之大成》）的奇书横空出世。作者侯世达（Douglas R. Hofstadter）自己说，“它并非意在讨论数学、音乐和艺术的关系”，“而是指出无意义的元素中怎样在自指和各种形式化规则（formal rules）中获得意义”。书中举了大量例子，比如任意的字符串如何在规则下形成语言，从无意义到有意义；阿基里斯和乌龟如何在悖论中缠绕；巴赫音乐在自指和递归中抽茧剥丝，在赋格进行中完成调性大循环，等等。

但本书还是不可避免地被当成讨论“艺术和科学的普遍形式和体系”之作。受它的影响，对巴赫与数学的讨论一时颇为兴盛，其中最时髦的话题之一就是“巴赫与分形”。

分形（fractal）这个概念，由科学家曼德博（Benoit B. Mandelbrot）创立于一九七五年，主要用于研究粗糙、不规则的几何形状，比如海岸线。近年来，它的应用遍及生物、地震、图像处理等领域。其中从视觉上更吸引普通人的一类是“自相似”的分形，也就是不断按比例缩小下去仍然类似全体的一个门类。因为它的直观、有趣和丰富的隐喻性，吸引了许多领域的人。演奏巴赫出名的美国钢琴家图蕾克对此就很有兴趣，她喜欢探寻巴赫和科学的联系，跟生物学家古尔德、物理学家彭罗斯以及创立“分形”概念的曼德博都有合作，可谓音乐家中的神奇跨界者。

在这里，只举一个分形维（dimension）计算的小小例子。平常说到维度，一般都是一维、二维、三维等等，是分形的概念引入了一种新概念下的度量。比如常见的分形谢尔平斯基三角（图1），维度值就是按比例缩小出来的小三角，需要“多少个”才能填充原先的大三角：

维度值D也就可以这样算出来，它的结果告诉我们，这个谢尔平斯基三角是1.585维的分形结构：

而在复调音乐中，有时把主题（通常几小节长）放在不同的声部中叠奏（stretto），这样主题既错开又彼此呼应；有些时候，某个声部把主题拉长或者缩短，音乐的形态有些新意却仍然熟悉。这都是古已有之的写法，巴赫将之发挥到了极致。有人把巴赫的《赋格的艺术》中的第七赋格（全曲共十四个赋格，四个卡农）按旋律线做成图（图2）。其中每个圆点是主题的一个音，而横线是主题之外的音，不同长度代表不同时值。这样一来，不同颜色的主题按不同的时值进行（跟前面提到的三角形一样，按比例放缩），有时候，不同声部之间就体现这种主题的比例，各种形态的主题平行行驶，有时相遇，最终交汇于静止，仿佛是一种抽象意义上的谢尔平斯基三角。

几十年过去之后，或许大家感到巴赫和分形的联系，以及广义上巴赫和数学的联系已经挖到了尽头，类似话题的论文和研究大为减少。毕竟，有着分形特质的音乐很多，人们随时可以写出比巴赫更有结构的音乐，但这不能表明它们是伟大的音乐。有个名叫Harlan Brothers的美国数学家兼吉他手，穷尽十年时间追索各种“分形音乐”，他认为巴赫的《勃兰登堡协奏曲》第一首以及《大提琴无伴奏组曲》第三首都有典型的分形。他自己也写了一些“分形音乐”，简直走火入魔。可是，音乐毕竟是音乐，它不可能拥有无穷的结构，更不可能像真正的分形那样，无穷放大之后仍然见微知著。一味追求音乐和科学的对应的研究者，有时会受不了诱惑，索性让算法和公式来解释音乐。上文提到的音乐家图蕾克，跟人就有过一些论争，虽然她对“音乐与分形”的话题很感兴趣，但不会接受巴赫的套路能被公式一网打尽。

不过，我认为赋格和卡农这类古老的形式，迟早有一天会与某种数学分支有所遇合，这是宿命。因为它发轫于“自相似”，以一个执着的主题牵引出无穷变体，并且高度程式化。这个主题正是GEB中那类“无意义”的元素，它几乎可以是任意的四小节，巴赫只是让它比较中性，有时是一个和弦中的几个音，易于跟自己的变身仍然形成和弦。如此这般，并不稀奇。但巴赫在这个门类中累积极多，整体性、合理性无人能出其右。而数学也好，科学也好，总是始于最基本的结构，以简单的数学表达囊括无穷的现象。发轫于极简的东西相遇并有审视之眼存在，互相启发的几率是很大的。然而短暂的交汇之后它们仍会分手。

二

巴赫的音乐和数学的联系或许有限，但它跟“数字”的联系，仍然被人无尽地挖掘。最早，是神学家和音乐学家斯门德（Friedrich Smend，1893-1980）提出来从数字入手巴赫研究，巴赫的数字都有神学隐喻云云。比如多年来研究者都有这样的共识：1、2、3之和与它们的乘积都是6（所谓完全数），所以这三个数字是最完美的。不仅是巴赫，不少同时代作曲家也写六首一组的套曲。此外，巴赫的许多作品都有这样的调性变化：B-A-C；还有14（BACH=14），41（J.S.Bach=41）等等。这些“关键词”在巴赫作品中不断出现。而数字和文化的“密码”，并非巴赫独创。古巴比伦、古希腊到后来的犹太文化中，都有一種古老的传统Gematria（希伯来语），就是这样的数字隐语或者密码传统。

近年来，瑞典学者塔特罗（Ruth Tatlow）在《巴赫的数字：写作中采用的比例及

其意义》（Bach?s Numbers： Compositional Proportion and Significance）一书中把巴赫的“数字神学”研究到无以复加。在此之前她已经写过一本Bach and the Riddle of the Number Alphabet，居然还方兴未艾。

塔特罗对巴赫音乐长度的观察很独特，她也关注“数字隐喻”，但并非重点。她的重点是“比例”，不仅注意到作品内部的比例，还包括了作品集的整体长度，比如她指出《B小调弥撒》的长度是一千四百小节，《复活节清唱剧》（Easter Oratorio）和《升天清唱剧》（Ascension Oratorio）在不执行重复的情况下也是一千四百小节。《马太受难曲》是两千八百小节；大型作品的小节数，都是十或一百的倍数等等。这些小节数，有可能是巴赫写作的时候计划的，也可能是抄谱的时候根据谱面定制的。休斯敦的巴赫协会有个播客（podcast）访谈了塔特罗，让我印象深刻的是，她说写书的初衷正是为驳斥巴赫研究中的“数字迷信”，想证明这些跟数字相关的结论都是巧合下的故作文章而已。不过在这个过程中，她发现了这些大作长度的内在比例以及正正好好的小节数，等等。这可能都是巧合吗？于是初衷大改，从证伪变成求证，不过出发点与前人不同。endprint

可是，同时保持音乐的艺术完美和数字完美实在太难了，那么巴赫会因辞害意吗（或者说，在不同需求面前如何取舍）？塔特罗的研究指出，会的。巴赫有时会做一些看上去无关紧要的改动，而原稿几乎已经完美了。在BWV1006第三乐章“加沃特”中，巴赫在开头用了反复记号而不是把最后八小节写出来—如果写出来的话，那么这段总数就是一百小节而不是九十二小节—九十二小节才正好凑成两千四这个巴赫喜欢的数。仅就小提琴帕蒂塔BWV1001、BWV1002而言，塔特罗就做出一个表格（图3），让人叹为观止。

不过，塔特罗虽然做了无尽的“数小节”的工作，她一再强调，关键之处在于巴赫想要的比例，而不是数字；除此之外，巴赫非常在意作品中各个部分的内在联系和整体性。所以她给巴赫的这类用意，取了个名字“proportional parallelism”，指的是巴赫在不同层面上体现的“平行”的隐喻性。这个比例，有时是指一部作品中各个“板块”的长度比例，有时是大型作品的总长，多数时候，是指一部作品中可以分成明显的两部分，它们的长度比。巴赫喜欢简单的1 ： 1、

1 ： 2、2 ： 3等比例，这不难理解，除了1 ： 1的对称性，1 ： 2、2 ： 3也对应于从毕达哥拉斯时代就开始有的对简单与和谐的相信。

说到数字、数学的起源，记得有人说数学是根植于人类本能的东西，或许，与数学相关的美感也是如此。但人在遭遇艺术的时候，大约并不会直接去感受复杂的数字，只会呼应简单的比例，在时间和空间的艺术中都如此，除非经过特定的训练。数字的“完整性”，在巴赫作品中俯拾皆是，但恐怕只有读谱并且细数的人才能感知，除此之外顶多感到段落之间的短长。对多数人的感觉来说，精确的数字是一种“难溶物质”，很难转化为听觉上的美感。然而，几百年前的建筑家同样相信“上帝视角”，相信人所看不见、听不见的东西，对上帝仍然是可感的。今人在巴赫盘根錯节的音乐面前惊叹，恐怕不容易想到在赋格的规则、听觉的美感之外，巴赫还自设了那么多屏障和捆绑，他在这些羁绊之中，居然仍能找到答案。而我们假设巴赫没有这些“数字神学”的设定，他的作品又会是什么样的呢？它们会更张狂、更丰富吗？

三

美国音乐学家伯格（Karol Berger）的《巴赫之环，莫扎特之箭》（Bach?s Cycle， Mozart's Arrow）一书说的不是巴赫的“另一种可能性”—虽然我私心里会歪解一下，而是不同时代中人对时间的感知方式。伯格认为，在欧洲文化中，十八世纪后半叶之后，音乐中的时间才真正成为事件线索的重要元素。

众所周知，音乐本身是有周期性的（比如音阶），它天然地需要结构，需要折返。而伯格的重点在于，因为时代和文化的不同，巴赫的音乐经常呈现出封闭的结构，它指向开端，指向自己，它常常是完美的循环—周而复始，万物皆有定时。而莫扎特这里的音乐结构已经是离弦之箭，分别、不对称已经成为主导。他列举了莫扎特钢琴协奏曲K491、歌剧《唐璜》等例子。西方音乐史上，更为明显的“离弦之箭”是贝多芬，他撕碎了圆满的结构，让音乐发生了就不再回转。伯格也在本书中讨论了贝多芬，但他认为真正的端倪是在莫扎特这里，莫扎特的音乐，已然是现代音乐。

伯格指出，巴赫的《马太受难乐》中无处不在的“返始咏叹调”（da capo aria）让结构成为环形。“没有一种时间如同上帝的时间”（There Is No Time Like Gods Time）这一章，说的就是这部受难乐既有线性的叙事结构，又有停止在瞬间的全面视角—时间在此凝固。在这里，词作者皮坎得是有自己的长度规划的，包括跟圣经相关的数字隐喻；巴赫更在乎自己的计划，尤其是音乐的长度比例，所以没有完全遵循皮坎得。

塔特罗的研究，在我读来还有些“不明觉厉”，不知道巴赫的用意跟音乐成就有没有确定的联系。不过如果对照伯格的意图和塔特罗的意图，我才有几分明白，甚至感到他们在此形成了有趣的对位—一面观测巴赫音乐的“运动”，它的“速率”“方向”“角度”；一面是巴赫的“距离”，用数字衡量的巴赫的布局。上面说过《马太受难乐》总长两千八百小节（这是1727年版，1724年版是2400小节），包括反复和da capo-da capo这个手段，对巴赫来说实在太得心应手了，它如同变速箱一般，让巴赫能凑出来各种自己想要的循环和数字比例，而事实也并非只有“凑”那么简单，巴赫把材料准备得紧密充分，一环咬一环，看上去竟是哪句都少不得，因为到处都有呼应，不能随便抽掉积木。所以，如今网上有那么多人绘出彩色的巴赫动图，它们并不是随机的万花筒图案。只是，伯格认为巴赫并不关注音乐构架的线性时间顺序，他恨不得让所有事件同时发生，透明地折叠，或者索性让“过去”和“现在”一起铺天盖地地涌来。这在《马太受难乐》中体现尤甚，视角忽远忽近，一会是耶稣身边的犹太人（歌词中以“锡安的女儿”暗指），一会又是“今人”，环环相扣对答，听者还真不容易清清楚楚地追随。在巴赫的大型作品（不仅是这部受难乐）中，环状结构无处不在，有大循环，有微循环，对称、并置比比皆是，串起它们的主要是场景的变化。

这样一来，巴赫无视事件发生的“大时间”，却对音乐进行的“小时间”也就是从段落到整体的小节数精细切割，各个段落运动活跃，转调大胆，而它们常常又是可交换和颠倒的。可是如果换个角度看，这种切割时间，让诸事件平行穿透的手法，或许更现代，普鲁斯特的巨作都能顺利地呼应它。只是，巴赫的圣马太故事毕竟是文化的一部分，它被讲述了太多次，也循环了太多次。时间没有胜利也没有失败，它睡在记忆里。

伯格所说的莫扎特的“不复返之利箭”，是时代使然。不过河西河东之后的二十世纪，巴赫看似静止的音乐又回到时风，至少回到西方古典传统之下的时风中—可是我们的时代，不是不断摒弃死板的结构吗？不错，可是我猜所谓现代又是崇尚复杂的，越来越多的工具让人破解复杂，也让人欣赏复杂—世界的狰狞真相，本来也需要复杂的艺术来映射。这个时代也有了越来越多的工具让时间静止、提速，甚至倒转。那么跟时间斗智的艺术，不会远离我们—网络游戏也好，电影也好，早让我们浸润在这样的文化之中。endprint

四

《巴赫与机器》，这是管风琴家伊尔斯利（David Yearsley）的文集《巴赫以及对位的意义》（Bach and the Meaning of Counterpoint）中的一篇。

一七四七年，法国哲学家拉·美特利（Julien Offray de La Mettrie，1709-1751）出版了轰动一时的《人是机器》（LHomme Machine），认为动物和人一样，都是机械装置，并没有“灵魂”这个东西。轩然大波之中，他从荷兰逃到弗雷德里克大帝的普鲁士。而就在一七四六年，一些有趣的新发明给拉·美特利的理论增加了佐证—德意志出现了吹长笛的机械小人，以及一只行动自如、会吃玉米粒（并且能“消化”！）的机械鸭子。这都是法国发明家瓦克桑（Jacques de Vaucanson，1709-1782）的作品，他声称这些机械音乐家能演奏二十首曲子。弗雷德里克大帝喜欢音乐，会吹长笛，他的御用长笛老师正是最杰出的长笛演奏家之一匡茨。“长笛机器人”甫一出世，匡茨老师被惊动了，他说：“无论这些机械多么精巧，它们还是不可能打動人。不过，如果人觉得自己比机器高明，并且能打动人，演奏技巧千万不能亚于它们。”可见，机器人还是威胁到了大师的存在感。

当时的莱比锡有一位波兰裔的医生，米兹勒（Lorenz Christoph Mizler，1711-1778），此人对音乐、数学都有贡献，做过巴赫的学生，还创立了一个大名鼎鼎的音乐协会。在瓦克桑发明“长笛手”的时候，米兹勒设计出一种能给音乐自动配低音的装置。因为是用算法产生和弦，它甚至发展到能写对位了，“而且迷人程度不亚于C. P. E. 巴赫（巴赫的儿子）”。既然如此，用机器产生音乐越来越可行并且好玩，很多能工巧匠兼业余乐手都开始施展身手。看来，作曲家们都要坐不住了，当时许多知识分子都在热烈争论“灵魂与机器”的问题。

说到巴赫的“机械性”，说起来大概要让许多巴赫迷恼火，包括我在内。谁也不愿承认巴赫的艺术是冰冷的公式凑出来的—如果公式化、机械化是指空洞的程式化赋格，那么巴赫的许多同时代人，包括老师、学生辈，甚至如名家布克斯特胡德，远比巴赫机械得多。可是，巴赫的音乐，让人很难忽视它跟“机械”的联系。在许许多多的对位作品中，《赋格的艺术》也好，《音乐的奉献》也好，恒河沙数的管风琴作品也好，赋格主题好像只需“第一推动”，然后就自动前行，不再需要干预，它们各自长得羽翼丰满，鬼魅一般彼此穿越。我自己在熟悉《赋格的艺术》的过程中，起先深为主题自身的孤迥之气所感，但一个个赋格、卡农听下去，直到相邻两段互为倒影的主题，就不断感叹它太“自动”、太圆熟，虽然有趣并好听，但因过于智性，离普通人的情绪有着遥远的距离。而稍稍通读《赋格的艺术》乐谱，即便不是研究者，都会注意到X小节一段的定式在卡农、对位中频频出现。比如几首对称精准、听起来又仙气袅袅的卡农。不仅主题的出现有准确的间隔，连何时出现汗漫的半音阶都有钟点般的步伐—钟点，对了，齿轮、咬合、倍数，这不都是分形的巴赫、平行的巴赫以及机器的巴赫吗？

伊尔斯利认为，巴赫是在自然的表达和“公式”之间的沟壑里探索。他对名噪一时的瓦克桑并未表达意见甚至可能并不知晓，但他近于机器般严密的卡农，也可视为十八世纪文化中对“机器艺术家”的回应。晚期所写《赋格的艺术》就是提交给音乐学会的作品，而这正是米兹勒创办的音乐协会。那个年代中的音乐批评，已经有了如此发达的科学和理论。

顺便说一下，今人用AI来作曲，据说巴赫的音乐是比较容易模仿出来的，其中做得比较好的，对许多人来说几可乱真。我对此并不惊讶，并且相信大多数巴洛克的音乐，都可以在一定程度上“AI”出来，因为样式明显，特定语汇突出，程式化极高。巴赫也同样，一些典型的样式，比如键盘作品中大量的八分音符琶音，一些赋格的答题等等，几乎在哪首曲子中都能见到一二。何况，赋格看上去太容易用算法生成了。但计算机写得出巴赫未写出的歌剧吗？写得出能和《歌德堡变奏曲》比肩的巨作吗？此为另话，目前只能存疑。

可是GEB的作者侯世达，似乎在支持巴赫的“机械性”—无生命的关联和隐喻的背后，只要有一套形式规则支持它们，就可涌现出语言、生命、认知与智能。细思恐极？

当年，巴赫在生命的末期，并不一定预知死亡，但因为最后的作品（如《赋格的艺术》）太过奇诡，又有最后一个对位未完的浪漫传说，它注定有许多种叙述方式。伊尔斯利在逐一讨论其中几首卡农之后，认为巴赫终结于一个出乎预料的“他我”。它已经独立于作曲家的存在了，它存在于自指和自我繁衍中，它像永动机，更如同一场模拟。在伊尔斯利此书写成的二○○二年，还显得颇为大胆。如今，网络上这类问题已经铺天盖地：我们的世界是不是一场模拟（simulation）？而Youtube上那些烟花般绚丽而对称的卡农动图背后，又有谁在拈花微笑？

《赋格的艺术》中十度卡农演奏过程中形成的图像（图4），较大的圆点代表不断重复出现的主题，每次出现都涂上不同的颜色。

五

当年，巴赫健康每况愈下之际，自己也知道需要节省精力，但仍然在斤斤计较作品的“比例完美”和“数字哲学”。即便在生命的最后十年中，他仍然对这种“看不见”“听不见”的完美孜孜以求，这在他的两部晚期大型作品《音乐的奉献》和《赋格的艺术》中都体现了出来。这仍然是塔特罗的研究指出的。《赋格的艺术》虽然未完，但仍大致体现了1 ： 2的比例—前八个赋格总长七百九十小节，之后的部分是一千五百八十小节（塔特罗依据研究“脑补”了未写出的41小节，但数字无疑是接近的）。

只是，巴赫密集的心意从音乐辐射出去，又有几许能抵达这空疏世界的远方？

不敢说自己是接受《马太受难乐》那样大作的“天线”，只能说我一直是巴赫赋格身体力行的粉丝。曾经，《赋格的艺术》给我听觉上的冲击极大，主题一出来，有种太空般的寂静与苍凉，然而仅仅倾听已经是过去式，过去感官所触及的新奇、感官留下的热情狂想，渐渐被技术问题埋葬。现在我被主题打动的时候不那么多了，取而代之的是小心翼翼地在谱上划句子。主题从开头轮流进来的时候尚可清晰感知，之后越埋越深，甚至混搭在不同的声部中，别说一般人根本听不出来，就是看谱也未必一下子能看清，但弹琴的人必须一个个地揪出来并且心如明镜（我称之为“抓特务”）。弹赋格还有这样的难处：分句方式可以有多种，但你一旦确立自己的选择，就算许下心愿、绑上贼船，无论用哪只手还是脚，都必须严守最初的承诺，处处践行一致的分句方式（天知道有时候会别扭成什么样），才算是达到赋格的基本要求。对演奏者来说，主题散掉，丢了头尾，被周围声部淹死，都是常见事故。演奏者对待这种赋格，按说把句子咬清楚是基本要求，但做起来很难不说，也并不讨好。因为在听者那里得不到什么呼应，这不是激情表达、灵感涌现，而仅仅是维护赋格的“尊严”，让作曲家本人在场听了不会勃然大怒。endprint

此外，自己上手之前，还无知无畏地相信“《赋格的艺术》应该在羽管键琴上弹”这种话—大概最早是莱恩哈特大师说的，结论不一定错，但需要高度的上下文界定。等到自己开始弄，才发现在什么琴上弹并不要紧，反正单件乐器最终会让听者迷路。这音乐不是给人“听”的，它是供人弹奏、阅读、交流用的。你可以把声部做成上文那个彩色的动图，也可以用好几件乐器来放大它，让摩擦成一堆的声部拉開距离，从不透明但有花纹的石头变成水晶。你也可以把它切成无数小段当作标本来学习。总之，我们普通人没有上帝的视角，不能瞬间穿透它，就只能线性地在时间之中用各个方式分别打开。最终，各个侧面融会贯通，同时降临，像《马太受难乐》那样一口气泰山压顶，那时候或许好意思回头想想它“究竟属于什么乐器”。

至于音谜、字谜，我只感念巴赫和那个时代的“相信”。谜语可以留给上帝，多少代人无知无觉，多少代人无从勘破，信徒还是带着相信而死。

《赋格的艺术》有数个版本，在巴赫死后的版本中，那神秘的最后四个音“B-A-C-H”之后附了一首未完的管风琴众赞歌BWV 668，它是《十八首莱比锡众赞歌》的一部分，不少学者相信这才是真正的巴赫临终之作。《十八首》中的前十五首是巴赫自己收集的，塔特罗指出它们的总长为一千二百小节，这是巴赫在晚年不断修改编订的结果。而最后三首是他的学生兼女婿Johann Altnickol后来所抄录，终于打破了巴赫计划得好好的总小节数和长度比例。而伊尔斯利把这首题为《我来到主的宝座前》的BWV 668称为巴赫的“死亡的艺术”，更有意味的是，GEB的作者侯世达称巴赫未完之赋格（指《赋格的艺术》中“B-A-C-H”音符含巴赫名字的“自指”），好比哥德尔不完备定理中的悖论（尤其在系统包含自指的时候）：“我不能被这个系统所证明。”

参考文献：

1. Bach's Numbers： Compositional Proportion and Significance， by Ruth Tatlow， Cambridge Press， 2016

2. Bach's Cycle， Mozart's Arrow： An Essay on the Origins of Musical Modernity， by Karol Berger， University of California Press， 2007

3. Bach and the Meanings of Counterpoint， by David Yearsley， Cambridge University Press， 2002endprint