例谈功能关系在力学中的应用

姚立权

一、正确理解功和能的区别

（1）能是物体运动状态决定的物理量，即状态量；而功则是和物体运动状态变化过程有关的物理量，是过程量，两者有着本质的区别。

（2）做功可以使物体具有的能量发生变化，而且物体能量变化大小是用做功的多少来量度。但功和能不能相互转化。

（3）能量有多种不同的形式，通过做功这一途径，一种形式的能量转化为另一种形式的能量，即做功的过程就是能量的转化过程；做多少功就有多少能量发生了转化，即功是能量转化的量度，所以功和能单位相同。

例1 以下关于功和能，下列说法中正确的是（ ）

A.功是矢量与过程对应，能是标量与状态对应

B.功是能量大小的量度

C.功是能量转化的量度

D.因为功和能的单位都是焦耳，所以功就是能

解析 功的正负不代表方向，功是标量，与过程对应是过程量，能是标量与状态对应是状态量，故AD错误；做功的过程就是能量的转化过程，做多少功就有多少能量发生了转化，即功是能量转化的量度，不是能量大小的量度，故B错误；C正确。

例2当重力对物体做正功时，下列说法正确的是（ ）

A.重力势能一定增加，动能一定减小 B.重力势能一定减小，动能一定增加

C.重力势能不一定减小，动能一定增加 D.重力势能一定减小，动能不一定增加

解析 重力做功引起物体的重力势能的变化，当重力对物体做正功，物体的重力势能一定减小；而物体的动能变化是由合力所做的功引起的；当重力对物体做正功时，物体向下运动，合力对物体可以做正功、可以做负功、也可以不做功，动能可能增加、可能减少、可能不变。故D正确。

二、准确掌握功与能的关系

功和能既有着严格的区别，又有着紧密的联系；能量有多种不同的形式，反映物体能够对外做功本领大小。通过做功这一途径，一种形式的能量转化为另一种形式的能量，即做功的过程就是能量的转化过程；做多少功就有多少能量发生了转化，即功是能量转化的量度，但不同的力做功会引起对应的不同形式的能发生改变。

（1）合外力对物体做功等于物体动能的改变（即动能定理）。

（2）重力做功对应重力势能的改变。

重力做多少正功，重力势能减少多少；重力做多少负功，重力势能增加多少。

（3）弹簧弹力做功与弹性势能的改變相对应。

弹力做多少正功，弹性势能减少多少；弹力做多少负功，弹性势能增加多少。

（4）除重力或弹簧的弹力以外的其他力做的功与物体机械能的增量相对应，即

①除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少。

②除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少。

③除重力或弹簧的弹力以外的其他力不做功，物体的机械能不变。

④一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做总功，等于摩擦力与相对路程的乘积，即，系统损失机械能转变成内能，即摩擦生热

例3人通过滑轮将质量为m的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图1所示。则在此过程中下列说法正确的是（ ）

A.物体所受的合外力做功为mgh+1/2mν²

B.物体所受的合外力做功为1/2mν²

C.人对物体做的功为mgh

D.人对物体做的功大于mgh

例4如图2所示，质量为m的物体（可视为质点）以某一初速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h，其加速度大小为a，在这个过程中，下列说法正确的是（ ）

A.重力势能增加了mgh

B.动能损失了mgh

C.动能损失了3/2mgh

D.机械能损失了1/2mgh

例5 如图3所示，质量为m的滑块以一定初速度滑上倾角为θ的固定斜面，同时施加一沿斜面向上的恒力F=mgsinθ；已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ=tanθ，取出发点为参考点，能正确描述滑块运动到最高点过程中产生的热量Q、滑块动能E_k、势能E_p、机械能E随位移x关系的是

解析 根据滑块与斜面间的动摩擦因数μ=tanθ可知，滑动摩擦力等于重力沿斜面向下的分力，施加一沿斜面向上的恒力

例6 卫星在环绕地球做椭圆轨道运行，地心在椭圆的一个焦点上，如图4所示，卫星由A到B的过程中（ ）

A.卫星的动能减小

B.卫星的势能增大

C.卫星的机械能减小

D.地球的引力对卫星做负功

解析 物体的动能增加量等于合力所做的 ；而 ，卫星的动能减小，故AD正确；由于引力所做负功，卫星的重力势能增加，故B正确；卫星由4到B的过程中，由于只有引力做功，卫星的机械能不变，故C错误。 三、合理选择研究对象和研究过程

对多过程、多物体的系统，除准确掌握功与能的关系外，还必须合理选择研究对象和研究过程。

例7如图5所示，物体A和的质量均为m，它们通过一劲度系数为k的轻弹簧相连，开始时B放在地面上，A、B都处于静止状态。现用手通过细绳缓慢地将A向上提升距离L₁时，B刚要离开地面，此过程手做功为W₁；若将A加速向上提起，A上升的距离为L₂时，B刚要离开地面，此时A的速度为ν，此过程手做功为W₂，弹簧一直处于弹性限度内。则（ ）

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例8从地面整直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，设上升和下降过程中空气阻力大小恒为f。下列说法正确的是（ ）

A.小球上升的过程中动能减少了mgh

B.小球上升和下降的整个过程中机械能减少了fh

C.小球上升的过程中重力势能增加了mgh

D.小球上升和下降的整个过程中动能减少了fh

解析 根据动能定理，上升的过程中动能减少量等于小球克服重力和阻力做的功， ，故A错误；小球上升和下降的整个过程中重力势能不变，动能减少量和机械能的减少量都等于全程中克服阻力做的功2fh，故B、D错误；小球上升的过程中重力势能增加等于小球克服重力做的功mgh，故C正确。

四、分清实际位移与相对位移

动能定理以及功的公式W=Fx中的位移x是指对地的实际位移，而摩擦生热Q=F_fx_相对中的位移x_相对是指两接触物体间的相对位移。 例9 如图6所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做勾加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为f，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是（ ）

A.小物块到达小车最右端时具有的动能为（F-f）（l+x）

B.小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fx

C.小物块克服摩擦力所做的功为f（l+x）

D.小物块和小车增加的机械能为fx

解析 小物块的位移为（l+x），受到的合力（F-f），由动能定理小物块到达小车最右端时具有的动能为（F-f）（l+x）；故A正确；小车的位移为x，受到的合力为f，由动能定理小物块到达小车最右端时具有的动能为fx，故B正确；摩擦力对小物块所做的功对应的小物块位移为（l+x），故 ，所以小物块克服摩擦力所做的功为f（l+x），故C正确；小物块和小车增加的机械能为系统除重力以外的其他力做的功， 为滑动摩擦力对物体系统所做总功，对应位移是指小物块在小车上相对位移，所以 ，故D错误。

例10 如图A所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體现以恒定的外力F拉B，由于A、B间摩檫力的作用，A将在B上滑动，以地面为参照物，A都向前移动一段距离，在此过程中（ ）

A.外力F做的功等于A和B动能的增量

B.B对A的摩檫力所做的功大于A的动能的增量

C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功

D.外力F对B做的功等于A、B动能的增量之和

解析 物体A所受的合外力等于B对A的摩擦力，所以B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，故B错误。A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但由于A在B上滑动，A、B对地的位移不等，所以二者做功不等，故C错误。对B应用动能定理， ，即 ，即外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做功之和，所以D正确，A错误。

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