点到直线的距离公式的妙用

韩文美

1.巧解参数问题

参数的值的求解主要包括点的坐标中的参数、直线方程中的参数、曲线方程中的参数等，根据位置关系的转化，巧妙利用点到直线的距离公式，进而达到求解参数的值的目的.

例1 （2015.安徽文改编）直线3x+4y=b与圆x²+y²-2x-2y+l=0相切，则b=____.

分析 先根据圆的一般方程配方得到圆心坐标与半径，利用直线与圆相切的关系，结合点到直线的距离公式建立关系式，进而求解对应的参数值.

点评 涉及参数的求解问题，往往是通过直线与圆的位置关系、直线与曲线的位置关系等，结合点到直线的距离公式来巧妙转化，建立相关的等式或不等式，进而得以求解.

分析 先確定线段AB的长度与直线AB的方程，把面积问题转化为点C到直线AB的距离问题，通过求解点C的坐标的解的个数来判断点C的个数.

点评 直接确定三角形中顶点C的个数问题无法下手，而通过构造点C与对应的直线AB，利用点到直线的距离公式把几何问题转化为代数问题，通过求解二次方程的根的个数来处理几何量的确定问题，方法巧妙，形数结合.

2.妙求直线方程

有时在求解直线方程时，可以巧妙借助题目条件，利用点到直线的距离公式加以转化，巧妙转换角度而达到求解直线方程的目的.

例3 已知圆C：x²+y²-4x-4y+7=0，自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，若其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线l所在的直线方程，

分析 通过题目分析，若其反射光线所在的直线与网C相切，则光线l与圆C关于x轴对称的圆C₁相切，设出光线l所在的直线方程，利用点到直线的距离公式来分析与求解.

点评 通过对称性的转化，把直线与网的位置关系与反射光线、对称圆等相关知识加以综合，结合求解直线方程的方法、点到直线的距离公式等加以巧妙转化与综合.值问题，可联想两点间的距离公式，若x与y满足一次关系式，即可转化为点到直线的距离公式来巧妙转化与求解.

例4 已知实数x，y满足方程x+y1=0，试求代数式x²+2x+y²+1的最小值，

分析 根据代数式的变形x²+2x+y²+1=（x+1）²+y²，把问题巧妙地转化为直线x+y-1=O上一动点P（x，y）到定点（-1，0）距离的平方和的最小值问题，利用点到直线的距离公式来直观求解，

点评 此类问题由数想形，将代数问题转化为几何问题，构造几何图形，对求解具有特殊结构的代数式的最值问题有着意想不到的神奇效果.

其实，点到直线的距离公式在其他一些场合也有非常不错的应用，特别是直线与圆的位置关系问题，以及其他的涉及代数、三角函数等知识，利用点到直线的距离公式，能让大家体验到一种全新的数学解题方法，充分地体现了解析几何与代数等相关知识的完美结合.endprint