从知识结构梳理到多解生成

周瑞永+郑旭常

摘 要：本文根据宁波一中考试题阐述依据提供的条件及解题目标，联想已有知识和解题经验，确定和选择思维方向、对象以及思维角度进行同化或顺从，完善认知结构，体现学生思维品质和数学素养.

关键词：结构；构造；创新；核心；素养

解无定法，实则有法，这就要根据试题提供的条件及解题目标，联想已有知识和解题经验确定和选择思维方向、对象以及思维角度进行同化或顺从，迅速的判定解题的大方向，减少误入歧途的可能，才能赢得时间，赢得正确率.现笔者对2017年宁波市中考试卷中的第18题通过梳理知识结构，进行解法探讨，以供大家参考.

题目 （2017宁波）如图1，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别落在

边AB、AD上，则cos∠EFG的值为.

分析 此题是一道動手操作型试题，由已知条件菱形ABCD和图形翻折可以得到一些隐含结论；其次解题目标求∠EFG的三角函数值，联想到三角函数值的定义法、面积法、余弦定理、正弦定理、角度大小不变三角函数值就不变的性质等方法破解.

一、利用线段中点，构造图形破解

1.利用线段中点E，构造全等三角形

解法一 如图2，延长AE、BC交于点H，过点H作HK⊥AB交直线AB于点K.

思路分析 抓住点E是CD的中点，联想到常规辅助线“延长一倍构造全等三角形”，结合菱形ABCD的性质，容易得到△DAE≌△CHE，其次利用图形翻折可得到AE⊥GF，最后角度不变三角函数值就不变的性质破解.

解法延伸 利用图形翻折可得到AE⊥GF和AM=ME，结合HK⊥AB，从而得到△AMF∽△AHK，所以AFAH=MFHK=AMAK，求得AF=74，MF=214.

所以 cos∠EFG=MFAF=21474=217.

2.利用线段中点M作平行线，构造相似三角形

解法二 如图3，过点M作MH∥AB交AD于点H，过点M、H分别作AB的垂线交直线AB于点P、T.

思路分析 由图形折叠得到的隐含条件AE垂直平分GF，结合已知条件DE=1，AD=2，所以抓住中点M作平行线，构造相似三角形，易得AH的长度，其次，利用基本图形（如图4）“直角三角形构造斜边上的高线”求解.

二、过E作AB的垂线，构造图形破解

1.构造含有公共边的两个直角三角形的基本图形

思路分析 利用菱形的性质和折叠中所隐含的条件，通过对知识结构的梳理，过点E作垂线构造不同的基本图形破解，在这里关键是线段AE的长度求解，除解法一、解法二的方法求解AE的长度外，实际上也可以利用余弦定理求解.

如在△DAE中，AE2=AD2+DE2-2AD·DE·cos∠ADE.所以 AE2=22+12-2×2×1×cos120°.所以AE=7.

三、利用平行线结合线段中点构造全等三角形与相似三角形破解

解法七 如图6，延长FG、CD交于点H.过点E作EQ⊥AD，垂足为Q.

思路分析 求∠EFG的三角函数值，易想到在Rt△AMF中求AF的值，结合菱形和折叠的知识结构，思考DG、AG的长度能否得出，从而构造相应的辅助线，利用特殊角度和相似三角形破解.

四、利用等积变形，构造图形破解

思路分析 由折叠的特殊性质“对称轴垂直平分对应点的连线段”产生直角，所以利用面积的不变性和面积的不同表示构造方程解答.

解后反思

1.深刻认识问题结构，挖掘隐含条件，寻找解题的出发点、解题路径，转化为一类几何结构或基本图形. 老子曾在《道德经》中说过“一生二，二生三，三生万物”，而在数学知识结构分析，这个 “一”可以理解成数学最为基础核心的本质概念和内容，如菱形、相似三角形、轴对称图形的概念及性质、三角函数的概念等掌握情况；这个“二”可以理解为数学的解题思想方法和技巧，如三角函数值怎么求，由哪些求法、已知中点怎么构造图形、已知哪些条件可以构造含公共边的直角三角形、图形翻折中可以挖掘哪些隐含条件，以此条件为平台又可以延伸出哪些知识等，具备了对数学基础知识本质的理解之后，有了数学解题思想和技巧做帮扶，便有了“三”——顺畅自然的给出解题思路.

2.加强归纳，总结提升.在平时数学解题中要及时的对解题方法及数学基本图形的抽象与提炼，使其思维水平和已有的知识结构相融，建立知识网络，为解题目标提供方法.如含有公共边的直角三角形的基本图形可以通过勾股定理建立方程，通过面积的不同表示方法或不同求法构建方程，通过面积法归纳出正弦定理、余弦定理及在怎样的条件下应用等等.

3.贯彻“用教材教，而不是教教材”的理念设计教法. 在平时的教案设计中，要研究教材，深刻理解知识的结构安排，研究知识的生长点与延伸点，吃透教材例习题中蕴含的能量与价值，多让学生经历知识的发现与提出过程、发生与发展过程、探索与应用过程、方法与规律的概括过程，让学生逐步积累发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的基本策略和活动经验，不断强化学生的数学思维能力和创新能力，提升数学素养.

总之，不同的解法体现学生不同的能力水平与知识的认知结构，也不是去创造某种新的、不同的事物，而是去操控心智中已经存在的认知，去重组已存在的关联认知，完善认知结构，体现学生的思维品质和数学素养.

参考文献：

[1]肖川.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].武汉： 湖北教育版社， 2012（2）.endprint