建构数学模型 感悟模型思想

薛明

[摘 要]数学是一种模型科学，数学教学同样是模型建构的教学。教学中，教师要有意识地引领学生建构有意义的数学模型，渗透数学模型思想。通过聚类抽象、原型启发和符号概括，可引导学生建构数学模型，促进学生把握数学模型的本质。

[关键词]数学模型；模型思想；意义建构

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）02-0071-02

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确将“模型思想”列为核心概念之一。广义地说，数学就是一种模型科学。无论是数学的概念、公式，还是数学的定理、公理等，都可以称为模型。狭义地理解，数学模型是指用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。某种意义上，学生建构数学模型的过程就是经历“数学化”的过程。在这个过程中，学生需要充分调动自己的感官进行观察、思维、想象等，需要充分运用数学思想进行提炼、抽象、概括等。数学模型是抽象的，因此，教师在数学教学中必须引导学生建构数学的模型，让学生把握数学模型的本质，感悟数学模型的思想。

一、聚类抽象，丰厚数学模型的建构表象

数学模型不是对个别数学对象特征的反映，而是具有“类”的特征。将众多数学现实材料和数量关系进行抽象、概括，形成具有本质属性的模型，是模型建构的一般形式。为此，数学教学中教师要丰富学生的表象积累，为学生培育数学模型建构的土壤，让学生从多维度、多侧面、多视角、多方位感知一类事物共同具有的特征或者数量关系，从而为学生建构数学模型奠定坚实的基础。

例如，笔者发现学生对于行程、工程等问题的数量关系通常只停留在记忆的层面上，没有形成有意义的数学模型。为此，笔者向学生提供了几种不同类型的数量关系的问题，如“一支钢笔的价钱是15元，买5支钢笔，一共需要多少元？”“飞机每小时飞行1200千米，3小时飞行多少千米？”“修一条公路，甲队每天修200米，5天一共修了多少米？”学生在解决问题的过程中，有的根据经验和题目中的已知条件解决问题；有的根据“单价、数量和总价”“速度、时间和路程”“工效、工时和工总”的数量关系解决问题。在学生解决问题后，笔者引导学生进行深度比较：这些题目有什么共同特征？学生朦胧地感觉到“每支钢笔15元”“每小时飞行1200千米”“每天修200米”都具有相似的特征。那么，这种具有相似特征的数量在数学上叫作什么呢？有学生认为都是表示“每什么”，有学生认为都是表示“单位数量”，还有学生认为都是表示“1份数量”，等等。在此基础上，笔者揭示“每份数”“份数”“总数量”的概念。由于有了数学素材的支撑，学生积累了丰富的数学模型的建构表象。这样的学习，能让学生经历数学模型的抽象化过程，深刻理解数学概念的内涵。

数学模型是对某类事物特征或者数量关系形式化、抽象化、符号化的概括。数学模型所表征和确证的数学对象是丰富的。因此，教师要让学生对一类事物的特征或者数量关系充分地想、充分地说、充分地做，进而舍弃事物的非本质属性与特征，提取事物的本质属性和特征，用数学的语言抽象、概括或者近似地表达出来，就能让学生水到渠成地建构数学模型。

二、原型启发，引领数学模型的有效过渡

学生建构数学模型并非一蹴而就的，而是有一个数学化、形式化和公理化的抽象概括过程。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出，要“从学生已有的生活经验出发，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。数学模型源于生活世界中的原型且高于生活世界中的原型，但生活世界中的原型却能够促进学生对数学模型的理解。因此，教师应当重视并引导学生从生活原型过渡到数学模型。

例如，教学苏教版教材第7册“垂线和平行线”时，有些教师尽管多次强化画垂线和平行线的操作要领，但学生在具体操作时还是觉得无所适从，不知道如何摆放三角尺。如何突破这样的教学难点？画垂线和平行线的操作模型在生活中有原型吗？如何让学生从画垂线和平行线中获得一般的操作启示，甚至能够将其有效迁移到“画三角形的高”“画平行四边形的高”呢？为此，笔者运用“问题串”着重对画平行线进行导学：①经验摸底：根据你的经验，怎样画平行线？（学生想到了用等宽的直尺描、用直尺移等）②理性审视：用等宽的直尺描比较精确，但只能画固定距离的平行线；借助直尺移动很方便，但是移的过程中容易发生歪斜的现象。③原型展示：多次演示“开关窗户”的动画，引发学生深度思考。④原型启发：能不能也像开关窗户一样造一个轨道，让直尺在平移时有一个依靠？⑤模型建构：怎样画垂线？怎样画平行线？经过讨论、交流，学生发现画垂线时，已知直线就是轨道，直尺或者三角形可以直接在直线上平移；画平行线时，可以让三角尺的一条边和已知直线重合，以固定的另一条边为轨道，让三角尺或者直尺在这个轨道上移动。如此，学生通过生活原型，成功地建构了“画平行线”“画垂线”的操作模型。

通过学生的理性概括，学生理解了画垂线、画平行线“为什么要建轨道？”“怎样建轨道？”以及“用什么建轨道？”等一系列问题。教师充分运用生活原型的可靠性和直观性，引导学生突破了数学学习的难点，引领学生实现了从生活原型到数学模型建构的有效过渡。同时，还消除了生活原型对数学模型建构的干扰，深化了学生对数学知识的本质理解。

三、符号概括，实现数学模型的意义建构

数学模型的建构过程必须经历从“感性”到“理性”，再到“运用”的过程。许多数学模型是用数学符号来确证和表征的，因此教学中教师要给学生提供运用符号的机会，甚至让学生创造符号。如此，充盈数学符号的模型意义，让学生能够运用数学符号进行概括，从而建构数学模型，感受数学模型的意义和价值。

例如，作为三大运算律之一的“乘法分配律”，沟通了乘加、乘减之间的关系，其形式上的变化和特殊的结构，给学生造成了一定的认知障碍。教学中，笔者让学生创造符号进行概括，引导学生走出思维窠臼。首先，通过情境问题“四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳。四、五年级一共要领多少根跳绳？”引導学生解决问题。有学生先算一共有几个班，再算一共需要多少根跳绳；有学生先算四、五年级各需要多少根跳绳，再算一共需要多少根跳绳。学生认识到，尽管方法不同，但都解决了问题。在此基础上，学生就能用等号将两种计算方法联结在一起。其次，引导学生从乘法意义的视角对这两个算式进行诠释：左边先算什么？表示几个24？右边先算什么？表示几个24？学生发现，尽管解决问题的方式不同、计算顺序不同，但意义是相同的，结果是相同的。那么，是否具有这样特点的算式一定能够组成等式呢？最后，让学生自主创造等式，并展开积极主动的验证。从单个例子的等式关系，到创造更多例子的等式关系，学生在丰富例证的过程中习得了科学的探究策略。在这过程中，他们主动运用各种符号建模，如“（☆+△）×□=☆×□+△×□”“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”“（a+b）×c=a×c+b×c”等。对于这样的符号表达，学生还能说出其意义，如“☆个□加上△个□等于（☆+△）个□”“a个c加上b个c等于（a+b）个c”等。可见，教师引导学生自觉运用符号、创造符号构建数学模型，就能够让学生初步感受数学模型思想。

数学模型的建构，有助于促进学生的数学理解，发展学生的思维能力，提升学生的思维品质。通过自主探索，对数学结论进行抽象、概括，提炼成数学模型的过程中，学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。经历了数学模型的建构，学生无论是知识结构还是解决问题的能力都有了质的飞跃，学生的创新精神、实践能力以及核心素养都得到了最大限度的提升。

（责编 黄春香）endprint