解题引入图形法，简化问题拓思路

苗晓丽

[摘  要] 图形法具有启发解题思路、提升数学思想的双重作用，因此不仅是一种解题方法，还是一种重要的解题思想. 本文将具体讲解图形法在不等式证明、最值求解和函数问题中的应用策略，并开展图形法教学思考，以期对师生的数学学习有所帮助.

[关键词] 图形法;不等式;函数;基础;构建;思想方法

初中数学的一些抽象问题对学生的思维要求较高，存在一定的难度，如果不能采用合理的解题方法，往往会造成解题思路的停滞. 图形法是一种较为常用的解题方法，可以将问题中的抽象信息直观化，并建立隐含条件与图形性质之间的关系，为后续的思路探寻提供启示. 下面是图形法在几类问题中的具体应用.

构建图形，巧证不等式

初中数学的内容中含有大量的数与式，其抽象、灵活的特点往往会造成学生理解困难，由此衍生的不等式证明问题对学生而言求解难度较大，因此学生难以找到合理的证明思路. 此时若采用图形法，合理引入直观的几何图形，则可以有效转化条件、结论，获得不等式证明的思路.

点评 构造几何图形，转化条件与结论，建立数与形的对照关系，由数联形，由形见数，可实现问题的直观具体化;结合几何性质证明问题，可有效降低思维难度. 另外，求解过程渗透了数形结合思想方法，这对学生的思维提升也有一定的帮助.

构造数轴，妙得最值

图形法在求解最值问题时同样具有广泛的应用，尤其是构造数轴求解含绝对值的最值问题. 该方法实际上是利用绝对值的几何意义来确定取得最值的情形. 利用数轴求解含绝对值最值的问题时，具体思路是：首先绘制数轴，并根据题干信息在数轴上标注关键点，然后借用数轴去掉绝对值符号或者利用数轴转化问题，最终实現问题求解.

分析 求解含绝对值的代数式的最小值，可以尝试利用绝对值的几何意义，即构造相应的数轴，将代数式转化为求x到定点距离和的最小值问题，然后借用数轴的直观性来确定取得最值的情形，从而实现求解.

点评 利用数轴探寻代数式的最值问题具有良好的直观性，可以巧妙地转化问题，并准确地确定最值情形. 不过需要注意的是，利用数轴解决问题时，我们要理解数轴表示数的几何意义，且要遵循数轴科学表达的法则，养成良好的作图习惯，保证数轴方向始终向右，并灵活掌握标记的方法.

图形综合，化解函数

函数是初中数学的重难点知识，由于涉及的知识点众多，求解难度较大，尤其是涉及动点的抽象问题，求解时可以采用图形法，引入直观图形来探究动点位置，将动点问题静态化，同时可以结合数轴，利用数轴分段运动时间，从而找出动点运动过程中的特殊位置或临界值，使复杂问题通过分类讨论的方式来求解，提高解题的准确性.

点评  上述为涉及动点的函数问题，由于点的运动导致了图形形状和面积发生了变化，解题时巧妙利用图形法，构造分析问题的函数图像以及数轴图，将复杂问题进行分段处理，有效降低了思维难度. 函数与图形之间本身就存在着紧密的联系，利用图形分析函数形态、变化特征极为便利，可以充分展示问题中的函数特性.

解后反思，教学思考

1. 扎实基础知识，建构知识体系

无论是利用图形法证明不等式，还是分析函数问题，解题过程都是对基础知识的综合应用. 如例1证明不等式，综合应用了分式变形、勾股定理和面积公式等知识;例2则应用了数轴等基础知识;例3的函数问题，涉及抛物线的性质、特征以及几何求边长、面积等相关知识. 因此，充分理解基础知识、把握知识联系是数学解题的基础，教学中也应从基础知识入手，帮助学生扎实基础，完善知识体系，提升解决综合问题的能力.

2. 学习图形构建，探寻问题规律

利用图形分析问题，实际上是利用图形建立条件与待求量之间的关系，从而使问题中隐含的性质特征充分暴露出来，使题干信息更容易理解，为后续的思路探索提供便利条件. 可以说，解题时引入图形，图形仅仅是降低思维难度的辅助工具，对图形规律的深入探索才是问题解答的关键. 因此，在解题教学时需要教师引导学生掌握图形建立的方法，学习探究问题图形规律、性质和特征的具体思路，使学生真正地掌握图形解题法.

3. 利用数形结合，发展解题思维

图形法实质上是采用建模方式将抽象的数学语言与直观的图形合理结合，使数值规律和几何特征相对应，互为补充，从而达到高效解题的目的，这是数形结合的充分体现. 而对于数形结合，它不仅是一种方法，更是一种重要的解题思想，具有数学所特有的严谨性和直观性，并且对学生思维的提升具有极大的帮助. 教学中要引导学生从“数”与“形”的角度深入理解代数与几何，学习数形结合解决实际问题的策略，培养学生数形结合的解题意识，发展学生的解题思维.

结束语

总之，图形法在数学解题中有着广泛的应用，是建立知识联系、转化问题条件的一种重要方法. 需要注意的是，采用图形法解题不仅要合理构造图形，还要主动沟通知识联系，充分发挥图形的引导作用. 在教学中，需要教师帮助学生扎实基础，构建知识联系;引导学生掌握图形构建的方法，结合实例探寻图形规律;从思想方法角度理解图形法，促进学生数学思想的发展. 图形法是打开解题思路的数学工具，教学中可利用图形法的讲解使学生获得解题能力和数学思维能力的提升