关于二次函数综合题的探究与思考

程艳

[摘  要] 以二次函数为背景的综合题，一般借助函数图像上点的坐标建立与几何图形、图形运动的关系，使问题形式多样化. 掌握学习方法，参透函数知识，总结解题策略是突破综合题的关键，本文以一道二次函数综合题为例，进行解题探析.

[关键词] 二次函数;综合题;数形结合;平移;几何;策略

问题背景解读

二次函数是一次函数与反比例函數的延伸学习，也是代数与几何相结合的代表性内容，对于该内容的学习从两个方面进行：一是函数表达式，二是函数的图像. 二次函数的表达式可以视为二元二次方程，求解函数参数的过程可以视为是解方程组的过程;而二次函数的图像具有自身的特性，如开口方向和单调性，并且其性质与函数的参数有着直接的关系，也是初中阶段研究的重点.

中考对于二次函数的考查通常以综合题的形式进行，并且紧抓其几何与代数的相融性，以直角坐标系为载体，借助点的坐标构建两大知识领域的联系. 近几年的中考二次函数综合题涉及的几何图形有三角形、圆、矩形、菱形、平行四边形等，融合了平移、旋转、翻折等内容，考查坐标求值、线段比例、面积构建、图形构造等问题，对其进行深入探究具有十分重要的意义.

考题解例示范

二次函数综合题的复杂不仅在于其计算过程的复杂，更在于解题的分析过程，以涉及平移并结合几何图形的二次函数题为例，需要把握函数解析式与图形之间的坐标联系，紧抓平移特性开展解题探索，下面对2018年上海市的二次函数压轴题进行分析.

（2018年上海市中考卷第24题）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y= -1/2x²+bx+c经过点A（-1，0）与B（0，5/2），点C是抛物线的顶点，点D在抛物线的对称轴上且位于点C的下方，将线段CD绕点D顺时针旋转90°，点C正好落在抛物线的点P处.

（1）求抛物线的表达式;

（2）求线段CD的长;

（3）将抛物线平移，使得点C与原点O相重合，此时点P落在点E处，点M落在y轴上，如果以四点O，M，E，D为顶点的四边形面积为8，试求点M的坐标.

破题第一招——细致读题，标画提炼

一般函数压轴题的题干文字叙述较多，关键的条件均隐含在其中，因此在读题时需要放平心态，集中注意力. 读题可以分两步进行：第一步是全题通读，标注其中的关键词语;第二步是条件提炼，即关注题干描述函数图像的词语，从中提炼抛物线的特征，如开口方向、顶点坐标和对称轴等，通过这样的细致读题来构建二次函数的框架.

破题第二招——构建模型，理清思路

求解二次函数最为有效的方法是构建特定的模型，问题的分析应建立在具体模型上. 如求解二次函数的表达式应根据待定系数法，构建“点坐标——方程组——函数参数”的模型;求解线段长应把握几何与代数的联系性，构建“几何性质——点坐标——线段长”的模型，或者基于方程思想构建求解几何线段的函数方程;而求解图形面积问题时，则需要构建研究图形的面积模型，将问题转化为求解关键点的坐标.

破题第三招——有理有据，有序全面

数学解题过程讲求“有理有据，有序全面”八字原则，“有理有据”即分析时必须依据基本的数学原理和性质，所进行的推导必须在教材中有出处，尤其是解函数综合题，对题干条件进行转化时都必须有依据. 而“有序全面”则指的是在对问题进行拆解、结论推演时必须按照一定的次序，遵循一定的逻辑，并且问题分析要全面，做到不遗漏不重复. 这与命题的过程和原则是一致的，必要时可以采用分类讨论的方法，确保所获得的答案全面准确.

考题解后思考

上述考题以旋转、平移作为载体，主要考查了二次函数表达式、平移性质、求解线段长和几何面积模型等内容. 从解题过程的思想方法来看，考查了方程思想、数形结合思想，理顺几何与函数之间的联系是突破考题的关键，下面进一步反思解题，总结学习经验.

1. 透视函数知识，数形角度思考

二次函数知识是初中数学的重难点知识，其几何与代数的双重性质往往是中考压轴题的命题素材，对于二次函数知识应该从几何与代数两个视角进行概念、性质透视. 如对于二次函数的表达式学习应结合代数的多元方程，而对于函数性质特征的学习则需要结合对应的图像，可根据图像的变化理解二次函数的顶点坐标、开口方向、单调性和最值. 同时，对于二次函数的学习还需要进行数形对照，如结合图像理解参数a的大小和符号，根据图像理解顶点坐标与对称轴的关系等. 二次函数学习的关键是建立一个完善的研究体系，然后采用合理的方法透视内容.

2. 紧抓知识联系，构建分析策略

二次函数综合题是中考的重点题型，上述题目将平面几何、图形运动相结合只是其中较为常见的形式，求解这类综合问题的关键是抓住知识之间的纽带，从知识联系性角度突破. 如函数与平移、旋转问题则需要结合图形运动的不变性，从动态问题中提炼不变条件和变化规律，建立函数运动的模型，探究点运动的规律;而对于函数与几何图形结合问题，则应基于数形结合研究方法，依据“图像←→特征←→线段←→点坐标←→函数表达式”的解题策略进行单向或多向探究，充分利用“点坐标”的衔接作用对问题进行转化. 对于函数中的几何问题，可以结合点坐标，基于方程思想构建研究模型，通过解方程的方式实现求解. 解决函数综合题实际上就是策略运用和模型构建的过程，掌握解题策略即可显著提升解题能力.

写在最后

任何知识都不是孤立存在的，这也是函数综合问题命制的背景，因此我们在学习二次函数知识时要将其放在整个知识体系中，把握二次函数的特性进行多视角的知识透视梳理，只有这样才有利于后续的知识迁移、拓展学习，也有利于构建二次函数综合题的解题策略.