初中数学数形结合思想的教学设计研究

祝春玲

[摘  要] 本文以“数形结合”为主题，通过分析，阐述数形结合的教学原则与教学策略，提出初中数学数形结合思想的教学设计思路，以期给广大教师带来有价值的参考.

[关键词] 数形结合;数学课堂;策略

数形结合的教学原则

1. 数学语言的灵活转换

“数”与“形”，在某种环境与条件下，它描述的是同一个数学问题，同一种数学现象，所指向的是同一个板块的数学主题，这也是“数形结合”思想的由来，用数字/数据与图形来同时表达某一个数学原理. 因此，教师在指导学生认识与理解“数形结合”这一思想时，首先要秉承数学语言灵活转换这一原则.

以“二次函数”为例，在“二次函数y=ax²（a≠0）的图像和性质”这一知识点中，函数“y=ax²（a>0）”的图像如图1.

这也就意味着这一个函数表达式与这一个函数图像，两者都表达了同样的内容. 学生在书写表达式时，应当可以灵活地画出它所对应的图形. 与此同时，当学生看到这一图形时，也可以准确地写出它所反映的函数表达式. 因此，“数学语言的灵活转换”这一教学原则的目的在于培养学生的数学敏感性，能够对同一个数学知识保持着“数”和“形”的双重认知，这是学生后续真正运用“数形结合”这一思想的基础.

2. 抽象问题的具化呈现

“数形结合”要解决的根本问题就是认知问题，不论是借助数字来理解图形，还是借助图形来理解数字，其目的都在于让问题变得更加清晰和直观. 因此，教师在指导学生认识与理解“数形结合”这一思想时，第二个要秉承的原则就是“抽象问题的具化呈现”. 比如在图2中，假如仅知道正三角形的边长为a，如何求解它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积呢？

假如学生用常规的思想，想通过求解外接圆和内切圆的面积再相减，显然题目给予的条件并不充分. 在这种情况下，学生就需要将求解“两个圆的面积相减”的问题转化成求出“两圆的半径平方差”这一问题. 如此一来，假如我们将正三角形外接圆、内切圆的半径和面积分别设为R，r，S₁，S₂，那么圆环的面积就等于S_1-S₂=πR²-πr²=π（R²-r²）. 显然，题目可以求解. 这一求解思路体现的是“数形结合”中的“以形助数”和“以数助形”. 当教师能够引导学生在看到复杂的、抽象的问题时，巧妙地利用数形结合来使其变得简单与具体，那么数学问题自然也会迎刃而解.

3. 数学规律的摸索抓取

教师在组织开展“数形结合”的教学时，还应当秉承指导学生进行数学规律的摸索与抓取的原则. 数学是一门内在逻辑性非常强的学科，各个知识板块看似彼此独立，但这中间却有着千丝万缕的关系. 而学生在解答题目时，也会发现同一个知识点可能会被不同的题目与不同的问法所呈现，这就要求学生能够抓住海量题目中的相似规律，这也是数形结合思想的重要出发点. 假如学生能够将生活中的某一种现象或某一个问题，通过数形结合的思想来将隐藏其中的规律抓出来，无疑对问题的解决有着很大的帮助. 而借助数形结合的思维与方法来变现象为规律，也是我们在教学中经常强调的要让学生真正地理解知识，而不是机械地“刷题”.

数形结合的教学策略

1. 对应关系的搭建——逻辑列举法

数形结合的出发点在于用“数”和“形”来表达同一个数学问题. 因此，教师在将这种思想与工具教给学生时，可以采用逻辑列举法这一教学策略来让学生学习搭建“数”与“形”之间的对应关系. 逻辑列举法的本质在于让学生理顺数学知识点在“数”与“形”两者的呈现方式，并将两者之间的脉络打通. 比如二次函數“y=-1/2x²-3x-5/2”，假如教师要学生说出x为何值时，y会随x的增大而增大？x为何值时，y会随x的增大而减少？显然，单纯地看这一函数，学生能想到的最常用的方式就是通过多次“赋值代入法”来进行验证，但这种方法耗时长，对验证的次数有最低要求. 面对这种情况，数形结合这一工具就能派上用场. 教师可以指导学生通过描点法来绘制其图像，如图3.

借助这个图像，我们能够很明显地得知，当x<-3时，函数y随着x的增大而增大;当x>-3时，函数y随x的增大而减少. 不仅如此，我们还可以从图像上得知函数与x轴的交点坐标以及与y轴的交点坐标等.

将这个图像与二次函数“y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a<0）进行对比，会发现两者在轮廓上大体相似，但具体位置不同，这其实是抛物线的平移问题，而这一平移规律的背后逻辑是：一般地，抛物线y=a（x-h）²+k与y=ax²形状相同，位置不同. 把抛物线y=ax²向上（k>0）或向下（k<0）平移k个单位;再向左（h<0）或者向右（h>0）平移|h|个单位，就得到y=a（x-h）²+k的图像. 简单点讲就是“左加右减括号内，号外上加下要减”. 当学生把这一逻辑原理抓出来后，与此类知识点有关的数学问题，就可以自然地运用数形结合来思考. 总的来讲，逻辑列举教学法强调的是让学生能够将“数”与“形”相互关系背后的逻辑抓住，以准确地把握数形转化的规律.

2. 数学模型的设计——主题任务法

上面提到，教师在进行“数形结合”这一思想与工具的教学时，要指导学生秉承化抽象为具体的原则，为了实现这一教学目的，教师可以采用主题任务教学法来指导学生尝试设计数形转化的模型. 以“三角形”为例，比如“三角形的高、中线与角平分线”这个知识点，教师可以让学生围绕着这个知识点来思考直角三角形、锐角三角形、钝角三角形这三种不同三角形中高、中线与角平分线的关系与联系. 最终大家在课堂上经过讨论分析后，分别绘制出了如图5～图7的三个图形.

可以看出：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于一点，如图5所示. 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点，如图6所示. 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，但三条高所在直线相较于三角形外一点，如图7所示. 这三个三角形就是三种高、中线、角平分线的模型. 当学生下次再遇到类似的题目时，就可以把抽象的空间概念具化为这三种模型，并借助模型特点来解答对应的题目. 总的来讲，主题任务法强调的是学生能够为“数”与“形”的相互转化找到特定的载体.

3. 实际问题的解决——案例模拟法

學习的初衷是为了解决问题，因此，“学以致用”一直都是我们在教学时所要强调的原则. 基于此，教师在进行“数形结合”思想的教学传授时，可以采用案例模拟法这一教学策略来提高学生的问题解决能力. 以“一次函数”为例，假如有一道题目是这样的：“某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应该怎样分配挖土和运土的人数，正好能够使挖出的土及时运走？”这就是一个实际问题，是数学问题在生产中的运用. 它需要学生列出方程组后用图像法来求解. 假如将应分配挖土的人数设为x，运土的人数设为y，则根据题目可以列出方程组x+y=48，5x=3y， 绘制出的图像如图8.

受限于篇幅，笔者这里不在解题步骤上多加陈述，但这一题目折射的就是一次函数与二元一次方程组的关系. 显然：从“数”看，求解方程组和求解自变量为何数值时函数值相等，这一对关系指向的是同一个问题;从“形”看，方程组的解和两直线交点的坐标，这一对关系指向的也是同一个问题. 这就是数形结合思想在具体生产问题中的体现. 总的来讲，案例模拟法强调的是学生能够切实地将理论迁移到实践中，将数形结合思想真正地掌握与运用.

结语

在众多的数学思想中，“数形结合”无疑是最普遍、使用频率最高的思想. 它指的是将数学语言中的数字与图形（或某种有意义的符号）结合在一起来思考问题、判断问题. 作为一种基本且重要的数学思想，它在培养学习者数学思维上具有非常重要的影响与作用. 为了更好地实现这一教学目的，教师在设计数学课堂时，应当尊重“数形结合”的思维规律，并以此为参考基础作为教学原则. 同时采取逻辑列举法、主题任务法、案例模拟法等来将教学目标执行到位，让学生在学习的过程中能够逐步地认识并掌握“数形结合”，以提高学生的学习效率与学习质量.