老师，怎样运用基本不等式求最知道？

王思俭

很多同学经常议论：“基本不等式的内容很简单，遇到灵活的题目，往往是束手无策，究竟是什么原因？”“基本不等式的技巧性很强，想不到变换就死定了！”“运用基本不等式解题真是灵活多变，很难总结题型的规律，究竟有没有规律可寻呢？”我们知道基本不等式是研究函数值域、求最大值或最小值、求参数的取值范围时常用的利器，通常将问题化难为易、化繁为简，但这需要我们具有敏锐的观察力、精细的分析力、深刻的思考力、丰富的联想力、扎实的运算力，同时还要具有良好的解题回顾的习惯.只有这样才能总结出运用基本不等式求最值的基本策略，才能驾驭基本不等式.为此，特邀请几位同学就《怎样运用基本不等式求最值》进行交流，旨在引导大家如何进行规律总结.

教师：很好！生丁的解题过程严谨，答案正确，同时他也指出生丙的错误原因.只有这样才能提高你们的思辨能力！大家看看还有什么方法吗？

教师：思路清晰，方法简洁明了，答案正确，很好！大家再思考一下，还有其他方法吗？

众生：学霸！

教师：解法漂亮！他的过程十分简洁！他是在发现正弦、余弦的平方和为1的前提下进行变换的，利用了整体思想，同时他也指出等号成立的条件.所以你们要学会先观察问题、分析问题，再选择适当的解题策略，将不具备使用定理的问题转化为可以使用基本不等

生乙：生甲的两处使用基本不等式的等号条件分别是x=2y，x=y，因此最后的等号不能成立，所以他的答案是错的.

生甲：是的，我怎么义犯糊涂了，下次一定吸取教训.

教师：很好！你们给出三种不同的解法，从中可以看出化归思想的重要性，化陌生为熟知，化待求为已求.生乙的方法简洁，生丁三角换元后就是上述的变题，因此，你们在平时的学习过程中，要注意积累方法，借鉴其他同学好的方法，往往是他山之石可以攻玉，变题1：已知实数想x，y满足x+2y=1，求p=1/x+1/y的取值范围.

教师：生甲灵活运用整体思想和分类讨论思想解决本题，答案正确.很好！再看变

题2：已知正数x，y满足x+2y=2，求p=1/x十2/y的最小值.

生乙：如同上题一样，消元后，化归为关于x的函数，整体换元求解.

生丁：将已知等式右边化归为1，再整体代换求出最小值为9/2.

教师：很好！灵活运用“1”的代换，没有“1”构造“1”，从而使问题变得更加简单了，解题过程也十分简洁.请看变题3：已知正数x，y满足1/x+1/y=1，求x+2y的最小值.

教师：很好！你们在学习过程中白觉地将问题推广到一般形式，这种探究精神值得提倡.这两个推广的问题实质是一样的，就是将x→1/x.y→1/y再看变题4：已知θ∈（o，丌），求p=9/（1-cosθ）+16/（1+cosθ）的最小值.

生戊：根据三角函数的二倍角公式p=9/2sin（θ/2）²+16/2cos（θ/2）²用sin（θ/2）²+16/2cos（θ/2）²=1，整体代换求出最小值为49/2.

生辛：直接观察分母之和为定值2，即（1-cosθ）+（l+cosθ）=2，转化为正数x，y满足x+y=2，求p的最小值，

教师：两位同学的答案都是正确的，生戊是三角变换人手，巧用正弦、余弦的平方和为1，生辛直接洞察出分母之和为定值，再化归为熟知的问题求解.再看变题5：已知正数想，y满足x+2y≤1，求p=1/x+1/y的最小值.

生丙：看来消元法行不通了，是不是要改变策略了？

教师：很好！给出的条件虽然不是等式，但还是可以转化为“1”的整体代换，再使用基本不等式求解.现在看问题：

教师：正确！本题是直接利用基本不等式变形来求解.变题1：已知直角三角形的面积为50，则周长的最小值为

教师：正确！现在大家可以灵活使用基本不等式解题了，变题2：若直角三角形的周长为10，则此三角形的面积最大值为

教师：很好！生丁能根据两道题的特征抽象概括出一般规律，从而得到此命题，他这种精神正是數学核心素养的重要组成部分，你们平时要多加训练，养成良好的学习习惯.变题3：已知正数啊a，b满足a+b+3=ab，求a+b的取值范围.你们探讨此题有哪些解法？

生戊：消元法，b=（a+3）/（a-1），因此p=a+b=a+（a+3）/（a-1）（a>1），即a²-pa+p+3=0，利用判别式△=p²-4p-12≥0，解之得p≥6或p≤-2（舍去），故取值范围为[6，+∞）.

生己：拆分配凑法，p=（a-1）+4/（a-1）+2≥2×2+2=6，当且仅当a=3时等号成立.

教师：很好！你们从消元出发，给出了不同解法，其中生己的方法较简洁.你们还能想到其他方法吗？

生辛：方程思想，设a+b=t，则ab=3+t.因此啊a，b是方程x²-tx+t+3=0的两个正根，因此判别式△≥0，解之得t≥6.

教师：生辛是构造一元二次方程，再利用判别式法求解.你们再想一想还有其他方法吗？教师：生乙的方法较简洁，先利用基本不等式构造一元二次不等式，然后求解.在他的解题过程中，你们发现什么了？

生辛：题设不变，可以求ab的取值范围，答案为[9，+∞）.

生庚：如果是填空题，可以秒杀求解其最小值，当啊a，b交换时已知条件不变，目标也不变，因此当a=b时取到最小值，解方程求出a=3时取最小值6.

教师：很好！生辛发现也可以求ab的最小值，而生庚给出了秒杀的办法，这些解题策略都值得大家学习借鉴.变题4：已知正数啊a，b满足a+b+3≤ab，求a+b的最小值与ab的最小值.

生甲：消元法不能解决了，是不是通过基本不等式建立一元二次不等式求解？

教师：很好！完全正确！在已知条件是不等式的情况下，我们往往是通过基本不等式构建相关的一元二次不等式，然后再求解.

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效T具，应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误，endprint