不等式

弓月

在大自然面前，“神马”都是浮云，只有自然法则和刻画自然法则的数学是永恒的.在数学里，相等是短暂的，是瞬间的绽放，不等才是永恒的.刻画不等关系的数学模型不等式是数学中研究这种永恒的极具魅力的瑰宝，有人对它如痴如醉，流连忘返；有人对它心怀畏惧、望而却步.无论是喜欢还是畏惧，如同相等一样，不等在数学中无所不在，《必修5》中不等式一章，让不等式终于有了一次集中展示的机会.

在古代数学的研究中，人们对不等关系并未给予足够重视，很少有人专门去研究它.不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家.目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家.在数学不等式理论发展史上，有两个具有分水岭意义的作品，分别是1882年Chebycheff发表的论文与1928年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲.自1934年起，不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴的数学分支，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的式子的综合，它已发展成为一套系统的科学理论.

有许多不等式与人名结合在一起，如柯西不等式、贝努里不等式等，表明了它们是由一些外国数学家发现或提出的.历史上，华人数学家在不等式领域也做出过重要贡献，包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家，近年我国有许多数学工作者活跃在国际数学不等式理论及其应用领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的重视.

由于不等式研究的是不等关系，所以同学们常觉得它抽象、不可捉摸，觉得难学，在解决问题时更是无章可循，其实，对不等关系的研究不能与相等割裂开来，不等与相等是对立的统一，可以通过相等来把握不等.结合到具体的数学模型上，也就是通过函数与方程来了解不等式.这样，就可以用熟悉的函数来统领不等式，使之有一个坚实的附着点.

当然，事物间的关系是相对的，虽然我们之前深入研究了许多相等关系，因而习惯于通过相等来看不等，但在有些情况下也可反过来，透过不等关系来认识了解相等关系.想一想必修1中用二分法求方程的近似解，不就是这么做的吗？当然，在我们较多地掌握不等式的知识后，这样的运用可能会更多.

从哲学的角度看，不等关系反映了对“度”的刻画.度是事物保持其质的量的界限、幅度和范围，关键点是度的两端，是一定的质所能容纳的量的活动范围的最高界限和最低界限.度是关键点范围内的幅度，在这个范围内，事物的质保持不变；突破关键点，事物的质就要发生变化.这正是上面所说的不等与相等间的统一与相互转化.

跳出具体不等式的框框看不等式，可能会对不等式有更新的認识.endprint