厘清概念 掌握运算

在数学解题中，我们对数学概念理解错误，或理解不透，又或者思考不全面，对某些解题方法没有真正掌握等，都容易导致解题出错.

一、概念不清引起出错

概念是思维的基本单位，弄清概念是解题的基础.有理数与无理数，平方根与算术平方根，绝对值，分式等概念，都是解题时容易混淆和出错的地方.

例1 在实数[5]，[227]，0，[π2]，[36]，-1.414中，有理数有 个.

【解析】[227]是分数，因此是有理数，[36]=6，故[36]也是有理数.故有理数有[227]，0，[36]，

-1.414，共有4个.

【点评】有理数的小数部分是有限或无限循环的数，无理数的小数部分是无限不循环的数.特别地，要注意π是无理数.如果不理解无理数的概念，而仅仅从形式上去判断，那么容易错认为带根号的数（如[36]）都是无理数.也有的同学计算[227]时，前六位小数都没出现循环节，于是错认为[227]也是无理数.有的同学还将[π2]错认为分数，而分数都是有理数，于是错误判断[π2]为有理数.

例2 下列说法正确的是（ ）.

A.±4的平方根是16

B.1的平方根是1

C.[9]的平方根是3

D.2是（-2）2的平方根

【解析】选项A应为16的平方根是±4，A错；B.正数的平方根有两个，它们互为相反数，故1的平方根是±1，B错；∵[9]=3，∴[9]的平方根是[±3]，C错；∵（-2）2=4，4的平方根是±2，∴2是4的其中一个平方根，D正确.

【点评】本题考查了平方根与算术平方根的定义，我们容易将这两个概念混淆，理解正數的平方根有两个，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0.本题容易混淆B、D两个选项.

例3 若分式[x-2x+2]的值等于零，求x的值.

【解析】分式的值为零，需满足两个条件，一是分子的值等于零，二是分母不等于零.故由已知得，[x-2=0，x+2≠0，]∴[x=±2，x≠-2，]∴x=2.

【点评】在解答这类问题时，容易忽视“分母不为零”这个条件，这是对分式的概念理解不清所致.另外，如果由[x]-2=0得到x=2，这样虽然结果正确，但过程有误，这是对绝对值的概念理解不清所致.

二、公式、法则不清引起出错

运用计算公式或法则进行运算，可以使运算简便，提高运算速度.但如果对公式、法则记忆不清，理解出错，容易导致运算出错.

例4 下列各运算中，正确的是（ ）.

A.（x-2）2=x2-4 B.（3a2）3=9a6

C.x6÷x2=x3 D.x3·x2=x5

【解析】由完全平方公式得（x-2）2=x2-4x+4，A错；由积的乘方运算得（3a2）3=33（a2）3=27a6，B错；由同底数幂的除法法则得x6÷x2=x6-2=x4，C错；由同底数幂的乘法法则得x3·x2=x3+2=x5，D正确.

【点评】此题容易由于对幂的运算法则记忆不清而导致出错.同时，幂的概念不清，也容易出现33=3×3=9这样的错误.

例5 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）.

A.x2+y2 B.-x2+y2

C.x2-（-y2） D.-x2-y2

【解析】因式分解的平方差公式是a2-b2=（a+b）（a-b），公式左边是两个数的平方差的形式，A与C都是x2+y2，属于平方和的形式，故A、C错；-x2-y2=-（x2+y2），也是平方和的形式，故D错；-x2+y2=y2-x2=（y+x）（y-x），故B对.

【点评】记忆平方差公式时，如果仅是从形式上记忆，认为前项与后项之间用“-”号连接就可以用平方差公式，这样很容易被选项C或D所迷惑，也容易认为B不正确.

三、思维不严谨引起出错

在解答某些问题时，常因为忽视问题中的隐含条件，或对隐含条件挖掘不充分，导致出现漏解或解答出错.

例6 若4y2-my+25是一个完全平方式，则m= .

【解析】∵4y2-my+25是一个完全平方式，

∴4y2=（2y）2，25=52，

∴-my这一项应该是±2×2y×5，

∴m=±20.

【点评】需注意的是，完全平方式有两个：a2+2ab+b2与a2-2ab+b2，解题时容易只考虑第一个而忽略第二个，导致m只取一个值，出现漏解.

例7 已知[m]=4，[n]=6，且m+n=[m+n]，则m-n的值是 .

【解析】由[m]=4，[n]=6得m=±4，n=±6，∵m+n=[m+n]，得m+n≥0，∴m=4，n=6或m=-4，n=6，∴m-n=-2或m-n=-10.

【点评】由m+n=[m+n]得m+n为非负数，错认为m、n均为非负数，于是由[m]=4，[n]=6得m=4，n=6，导致漏解.

例8 先将[1-1x-1]÷[x2-4x+4x2-1]化简，再从-1，0，1，2这几个数中选一个你认为合适的数代入并求值.

【解析】原式=[x-2x-1]×[x+1x-1x-22]=[x+1x-2]，

当x=0时，原式=[0+10-2]=-[12].

【点评】正确解答本题的关键是找出题中隐含的条件，保证每一步运算中，分式的分母均不能为零.解题时，我们容易注意到原题中分母不为零的条件，但也容易忽视运算过程中的分母取值范围，导致选择数时出错.

四、数学思想方法不清引起出错

数轴是规定了原点、正方向与单位长度的直线.在数轴上，实数与数轴上的点是一一对应的.运用数轴，可以实现实数（数）与数轴上的点（形）的互化.但在解决具体问题过程中，常由于忽视“形”位置而导致“数”出错.

例9 已知表示数a、b的点在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b的大小顺序是（ ）.

A.-a

C.-a<-b

【解析】从数轴上可以看出b<0[a]，∴-a<0，-a>b，-b>0，-b>a，即b<-a

也可以由互为相反数的两个数在数轴上的位置关系得下图：

于是有b<-a

【点评】运用数轴可以比较两个实数的大小，从左到右依次变大，而互为相反数的两个数关于原点对称.此题容易错认为b是正数，而-b是负数，忽视表示数b的点的位置.

（作者单位：广东省深圳市高级中学）