在操作中建模，在多元表征中向除法本质更深处寻觅——“除法的初步认识”一课的教学例谈

江 漫

（苏州外国语学校）

《义务教育数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型可以提高学习数学的兴趣和应用意识。”建模思想是学生应该具有的数学素养。数学建模是一个复杂的过程。它需要小学数学教师引导学生经历直观操作，借助形象事物的表象，使学生从实际问题中提炼出数学模型，从而培养数学思维能力。

二年级学生的认知处于具体运算阶段，除法概念对孩子来说是一个比较抽象的数学模型。怎样让孩子深刻地理解和建立这一数学模型，如何借助除法概念的多元表征来深入地理解除法本质？笔者以下面的教学片段进行分析。

一、建立按每几个一份平均分的除法模型

1.情境导入

谈话：秋天到了，小朋友去秋游了。瞧，他们在坐缆车呢！从图中你能获得哪些数学信息？

出示文字，启发思考：6个小朋友，每车坐2人，要坐（ ）车？请用身边的学具摆一摆、分一分。

2.动手操作

交流，黑板上板演：6根小棒，每2根1份，可以分成3份。

提问：你能把刚才摆小棒的过程用简单的方式表示出来吗？

投影展示各种表示方法。

A.画图

B.算式

从实物图开始交流，请学生介绍作品的意思，其他学生判断它是否符合平均分的含义。

比较三种形式，突出除法算式优点。

3.认识除法算式

介绍：乘法算式要用乘号，除法算式就要用除号。除号就表示平均分。一共有6个小朋友，6写在除号的前面，每车坐2人，2写在除号的后面，可以坐3车，3写在等号的后面。

提问：你会读这个除法算式吗？强调除号在算式中读作除以。

介绍除法算式各部分名称。

提问：每个算式都有它的含义，你能结合这个题目，说说这个算式的含义吗？

交流：一共6个小朋友，每2人坐一车，可以分成3车。

师：平均分是除法算式的指挥棒，我们要根据平均分列除法算式。

提问：你觉得用这个算式表示刚刚平均分的过程和结果怎么样？

师：除法算式是一种数学的语言，用它来描述平均分的现象会比较简洁。数学家也是经历了很多年的探索，直到300多年前才创造出用这样的除法算式表示平均分。

介绍除号历史：300多年前，瑞士数学家用一条横线将两个圆点分开表示除。

4.练习题

谈话：小熊妈妈要给小熊分苹果了，我们来看看吧！

读题：有12个苹果，每只小熊分3个，可以分给几只小熊？

师：可以在图中圈一圈，数一数，再根据平均分的结果填写算式。

你能说说这个算式表示什么含义吗？

总结：像这样把一些物体，按每几个一份地分，求可以分成几份的问题，可以列除法算式。

二、建立按平均分成几份平均分的除法模型

1.谈话：一群爱劳动的小朋友去植树了，我们去看看吧！出示文字，读题。

2.动手操作：请用小棒摆一摆。

指出：像这样把6个小朋友平均分成3组，求每组有几人，这种平均分的过程也可以列除法算式。

追问：结合题目，说说算式的含义。

三、比较两种类型的除法模型

1.提问：比一比坐缆车题和植树题，有什么共同点和不同点？

共同点：都是平均分，都要列除法算式。

不同点：平均分的方式不一样，第一种是按每几个一份地分，第二种是按平均分成几份，求每组有几人。平均分的方式不一样，列出的除法算式也就不一样。

师：平均分是除法算式的指挥棒，是按每2个一份地分，那就除以2，是平均分成3份，那就除以3。怎样平均分的，就怎么列除法算式。

总结：把一些物体平均分，无论是按每几个一份地分，求分成了多少份，还是平均分成几份，求每份是多少，都可以列除法计算。

2.练习

谈话：老师在给小朋友分笔，我们来看看。请人读题。

要求：可以把8支笔画在数学书上，分一分，再填写算式。

交流算式，说算式含义。

反思：

1.经历二次数学化过程，自主建构除法模型

张奠宙教授认为：应用题教学的本质是建模。而四则运算模型是解决应用题的基本模型。教学中，我们通常把学生解决应用题的失误归结为数量关系不清。学生对于数量关系不清的根源是对于四则运算的问题结构和模型识别不敏锐。而该能力的培养关键是在学生头脑中建立清晰的模型，加强对模型的理解。

学生从具体情境中找数学信息和数学问题，再借助学具操作得出平均分的结果，这是一个将原题内容简化的过程，是初次数学化的过程。再将操作的过程用一个简单的方式表示出来，这是第二次数学化的过程。

在画一画和算式比较中，学生自然而然选择用算式，因为算式比较简单。因为前面有学习乘法的基础，所以有学生想到用求乘法未知数的方法，这也为后面口诀求商埋下伏笔。算式和画图比较中，学生自然而然选择用算式表示平均分的过程和结果，体会除法算式的简洁性，引发学生学习除法的认知需求。

2.引入除法算式历史，激发学生学习数学的兴趣

新课标强调教师在教学过程中不仅要重视过程与结果，还要重视学生的情感与态度。学生在探索完平均分过程和结果的表示方式后，适时地引入数学家创造除号的历史。数学史在激发学生学习除法的兴趣上就有很大的帮助了，更能让孩子体会数学是人类文明的一个重要组成部分。

3.运用除法概念的多元表征，加强除法模型的联结

除法算式表示两种平均分的过程和结果，是一种抽象、简洁的数学语言。要让这种数学语言在学生的头脑中产生意义，需要大量具体而又生动的实例的支撑。学生经历了两种情形除法模型的建构，到两种情形的综合比较，形成除法的一般模型。最后在一道算式中，充分地体现孩子对两种模型的理解，沟通两种模型的联系。