泰勒展开式在函数不等式问题中的应用

杨柳

摘 要 自导数纳入高考范围后，函数不等式问题的难度加大，学生在处理含有参数的不等式问题时，分类讨论的思路较为混乱，书写不规范，用时较长，从而导致高考失分较多。对于这部分问题，除了用常规的导数方法以外，我们还可以从另一个角度解决，这就是泰勒展开式形成的不等式。我们通过两道例題展现它在解决函数最值问题方面的优越性。

关键词 泰勒展开式;导数;函数最值;不等式放缩

中图分类号：G622                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2018）18-0227-01

通过两道例题我们发现，第一种解法是导数问题中常用的分离参数后二次求导，或者直接构造差函数后进行分类讨论，求解过程难度和计算量都较大。例1的第二种解法是利用数形结合的思想，将问题转化为曲线外一点与曲线上任意一点连线，形成的直线斜率的取值范围问题，难度和计算量都有所下降。两道例题的另一种解法是利用泰勒展开式得到的经典不等式，将函数放缩后，直接得到答案，问题很容易的得到了解决。当然，根据题目的不同，泰勒展开式可以选择不同的项构成不等式。由此可见，泰勒展开式在解决导数问题时，非常的简洁灵活。在平时的教学中，我们可以让学生熟悉一些经典的泰勒展开式，将复杂的导数含参问题转化分解成我们熟悉的函数和不等式问题进行解决。