有趣的数学思维

摘 要 数学作为研究现实世界数量关系和空间形式的科学，以其高度的抽象性而著称。由于抽象，致使思维对于数学有着特别重要的意义和作用。同时，数学也是培养人的思维能力的重要載体。

关键词 数学思维;语言;推理

中图分类号：G622                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2018）18-0224-01

如美国数学家哈尔莫斯所说“问题是数学的心脏”，要开展思维，必须由数学问题开始，而一个好的数学问题，可以引出一串数学问题，即形成所谓的问题链。其次，对于数学问题，人们在思考分析的基础上，通过一系列合情合理的方法，会形成对于该问题结论的某种猜想。数学问题在数学思维中具有首要性，由此我们应该对数学问题有个详细的了解。合情推理虽然对于发现数学猜想具有重要作用，但由合情推理得到的数学猜想，毕竟是猜想。而猜想的正确性，则待于严密的数学证明。通过证明得到的数学结论，那就是数学定理。数学的结论性知识，基本上以定义、公里和定理的形式来表达。但这些定理、定义和公理都是数学中的一个个知识点，要把这些知识点串联起来，形成一个知识系统，在数学中有一种特殊的方法，那就是公理化方法。这是数学特有的思维方法。数学建模是运用数学解决实际问题的有效方法，事实上，所谓数学建模就是建立起有关实际问题的相应数学模型，通过对数学模型的研究，达到解决实际问题的目的。

分析法、综合法、抽象法和概括法是数学思维方法最基本的方法。数学语言的独特性表现为它是一种独一无二的语言，这是目前世界上唯一的一门描写自然、社会和人类社会中数量关系、空间形式和抽象结构，表达科学思想的世界通用语言。不同母语的数学家，虽然他们的自然语言不同，在许多方面一时难以沟通，但一旦讨论起数学问题，他们就有共同的语言，可以毫无障碍的进行沟通，共同来思维同一个对象。数学思维往往表现为是一种系统的综合性思维，很少有用单一的思维形式来解决问题的。数学又是一门高度严谨的学科，所有的理论都必须经过严格的逻辑论证得到，作为数学活动结果，即数学结论是十分严谨的。从数学本身来看，数学活动主要包括三个方面：数学的发现、论证和应用。于是，数学思维方法应包括数学发现的思维方法、数学论证的思维方法和数学应用的思维方法三的部分。事实上，抽象和概括、分析和综合，既贯穿于数学思维的始终，又是数学思维的实质。

欧几里得在前人工作的基础上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的、严密逻辑体系的《几何原本》。

哈尔莫斯在《数学的心脏》中，把数学问题分为平凡问题和深奥问题。所谓平凡的数学问题是指那些接近基本定义的，易懂、易证的数学问题。好数学问题的标准是具有启发性和可发展性。所谓启发性，主要是指数学问题能启发人步步深入，直至问题的解决;即使暂时不能解决，也能让人舍不得放弃;有较强的探究性，能让人有所思也有所得，但又不能立即就把问题彻底解决。而可发展性，实际上是说，由一个数学问题可以发展为多个数学问题，即发展为数学问题链或数学问题群，而不是一个孤立的问题。数学问题的五条基本性质是首要性、数学性、探究性、链锁性和相对性。数学性是数学问题的基本性质，不具有数学性的问题就不是数学问题。

自然宇宙是数学问题的首要源泉，社会实践是数学问题的动力源泉，数学本身是数学问题的主要源泉。《全日制义务教育数学课程标准》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、验证、推理、计算、证明等活动的过程。”这表明新的小学数学课程标准和数学教材，对学生数学猜想能力有明确和较高的要求。数学始于问题，数学源于猜想。

《全日制义务教育数学课程标准》在关于总体目标的要求中明确提到：发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。在合情推理中，所需要使用的常见方法有观察和实验、归纳和类比、一般化和特殊化、比较和分类、想象和直觉、整体和全息、统计和估算等。

波利亚在他的名著《怎样解题》中曾指出，数学有两个侧面，一方面“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学”;但另一方面，“在创造过程中的数学看来却是一门实验性的归纳科学”。布尔巴基学派的灵魂人物韦依则认为，数学家可以分为理论数学家和实验数学家，称费玛是理论数学家，而欧拉则是实验数学家。

由于推理得到的结论具有或然性，因此这种结论只是一种数学猜想，其正确性必须通过严格的数学证明。数学证明是数学特有的思维方法，它最能体现数学的本质。美国数学家克莱因认为数学是自我证明的科学。数学证明由公元前6世纪的泰勒斯首开先河。证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱，他把埃及的地面几何演变成平面几何，发现了许多几何学的基本定理，并将几何学知识应用于实践。

数学思维是人脑以数学为对象，并借助数学语言以抽象的概括为工具，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映。简言之，数学思维是人脑对数学的一种间接概括的反映。

参考文献：

[1]克鲁捷茨基，李伯黍等译.中小学生数学能力心理学.上海：上海教育出版社，1983.

作者简介：林纬纬，女，汉族，籍贯：安徽滁州，本科，研究方向：数学教育。