从“长×宽”到“长×宽×1”——“长方形和正方形的面积”教学实践与反思

（青海省西宁市南山路小学 青海西宁810000）

一、课前思考

2018年在一次教学比赛中我执教了“长方形和正方形的面积”。课的基本教学流程如下：（1）以一个猜图形的游戏导入，让学生在猜中体会图形面积的计量其本质就是“单位面积的累加”，即用单位面积的总个数刻画图形的大小。（2）借助格子图让学生直观感受长方形的长、宽与图形中铺满单位面积的行、列数，以及面积单位总个数之间的对应关系，从而总结出面积单位的总个数是长、宽这两个数的乘积。顺势推导出长方形和正方形的面积公式。（3）变式训练，在解决问题的过程中进一步体悟面积度量的本质。（4）回顾反思，让学生再一次回顾人类历史面积度量的发展过程，感受人类利用一维测量的手段解决二维面积测量的智慧与创造。课后评委问我一个问题：“你觉得边长是1的正方形在这节课中有着什么样的作用？”“边长是1的正方形就是图形面积度量的工具：单位面积，这有什么特别的？”我心中暗想。

但这个问题，一直在我的脑海中盘旋。我开始反思，我的这堂课究竟上好了吗？回想我对这节课最终的目标是要让孩子们不仅知道长方形的面积公式，而且要让孩子们知道为什么长方形的面积=长×宽。那我真的达到目标了吗？课下，我对这个班的学生进行了访谈，大部分学生都能明白求长方形的面积，就是根据它的长和宽来想象长方形里铺面单位面积有几行，每行有几个，再相乘得出的数就是面积单位的总个数。但是，学生在谈到还有什么不懂时提到：“虽然我知道了5（长）×4（宽）是什么意思，但是为什么5×4就是20平方厘米了呢？……”学生一语中的！5是5厘米。4是4厘米，5（长）×4（宽）怎么就成了20平方厘米（面积）了呢？一个一维长度的数乘一个一维长度的数，怎么就成了二维面积了呢？1厘米×1厘米为什么1平方厘米呢？再回过来想，面积的本质是什么？到底什么是面积？张奠宙曾提到的“面积的教学，其核心就是如何测量图形的大小，即如何给平面上的封闭图形一个恰当的数，而这个数就叫做这个图形的面积”。这个数到底表示谁？ 20个单位面积的个数就能表示长方形的大小了吗？20“个”能等于20“平方厘米”吗？难道就是教师用书中说得：数的意义不同，但数的大小是相同的？我想，这个理解还是过于牵强。那么20“个”如何才能等于20“平方厘米”呢？我突然体悟到，1个边长为1厘米的小正方形的面积是1平方厘米，那么20个边长为1厘米的小正方形，它的总面积就是20（个）×1（平方厘米）=20平方厘米。假如我们长方形的面积公式就是“长×宽×1”，“长×宽”所得的数刚好是铺满长方形单位面积的总个数，总个数乘以一个单位面积的大小1平方厘米，就是长方形的面积。然而我们就可以从数量20平方厘米中抽象出这个数“20”来表示长5厘米、宽4厘米的长方形的大小，面积是一个数。从“长×宽”到“长×宽×1”，面积是1的正方形，建立了长方形长、宽与长方形面积之间的对应关系。这也是，我们为什么会用边长是1的正方形作为测量标准，度量图形的大小的原因。一节课、一个知识点，我们在备课中，不仅要研读课标、解读教材、全面搜集资料吸纳前人研究的可借鉴的突破点，同时，也要结合自己学生的学情，在不断实践和反思中，提炼出前人没有看到的，立足学生发展，更有助于学生理解的创新点，也许这个点很小，但是能促进学生对概念的理解。