具有内阻的旋转复合材料轴的非线性自由振动与稳定性

2018-02-27任勇生张玉环时玉艳

振动与冲击 2018年1期

任勇生，张玉环，时玉艳

(山东科技大学机械电子工程学院，山东青岛 266590)

纤维复合材料由于比强度和比刚度高、抗疲劳和减振性能好，在包括能源、航空和汽车在内的许多工业技术领域内的结构设计中已经显示出广阔的应用前景。轻质纤维复合材料取代传统的金属材料用于直升机尾传动轴以及汽车传动轴的结构设计，不仅可以大大地降低重量，同时还能够减少噪声、提高传动系统的抗振性能。然而，由于复合材料相比金属材料具有更强的阻尼耗散能力，在超临界旋转状态下，复合材料轴转子系统受到内阻的影响，更容易产生失稳问题，由此引发的大振幅振动，往往会导致严重的后果。因此，为了精确地预测和优化旋转复合材料轴的动力学特性，有必要综合考虑非线性和材料阻尼的影响。由于针对转子系统非线性振动现象的分析要比线性分析困难得多，所以，考虑内阻的旋转复合材料非线性动力学建模与分析，是转子动力学领域内具有挑战性的研究工作。

Ishida等[1-3]研究具有四次非线性恢复力的旋转轴非线性受迫振动以及对称非线性旋转轴内共振和非稳态振动。Cveticanin等[4]采用Galerkin法研究具有几何和弹性非线性的转子系统振动。Hosseini等[5]采用多尺度法研究具有曲率和惯性非线性的旋转轴的自由振动。Rizwan等[6]研究具有弯曲大变形旋转轴-刚盘不平衡转子系统非线性受迫振动。Shahgholi等[7]研究简支不对称旋转轴主共振和参数共振，非线性来自轴向可伸缩和大位移幅值。Khadem等[8]研究大振幅不可伸长的旋转轴组合共振。然而，在上述文献中均未考虑内阻对非线性振动的影响。

复合材料轴的内阻来源于材料内部的能量耗散。Saravanos等[9]提出了一个预测各向异性复合材料空心梁模态阻尼的有限元模型，但它仅适用于非旋转的复合材料梁或者叶片。Sino等[10]基于简化的均匀梁有限元模型(SHBT)，研究带有刚盘和弹性支承的旋转复合材料轴的动力学特性，其中采用黏弹性复合材料本构关系描述内阻特性。Ren等[11]基于变分渐进法(variational asymptotical approach)建立复合材料薄壁轴转子系统的动力学模型，其中，采用单层-截面-轴多尺度方法对复合材料内阻进行建模。然而，上述研究由于均未考虑非线性因素的影响，仅适合于对旋转复合材料轴进行线性振动分析。

一些涉及材料内阻对转子非线性动力学响应影响的报道主要有：Shaw等[12]和Luczko[13]研究内阻对各向同性黏弹性平衡转轴稳定性与自激振动分叉特性的影响；Shaw等[14]、陈予恕等[15]研究超临界不平衡转轴的非线性刚度和材料内阻对动力学响应行为的影响；曹树谦[16]研究油膜和内阻共同影响下的不平衡非线性转动轴的失稳规律。Ishida等[17]研究具有非线性恢复力和内阻的旋转轴的受迫振动，发现在转速超过第一阶临界速度的很宽的范围内，都会产生自激振动。Hosseini[18]研究简支旋转轴的稳定性和分叉，阻尼耗散来源于粘弹性材料内阻和支承外阻，借助于中心流定理和规范型方法描述了旋转轴在分叉点附近的动力学特性。近来，任勇生等[19-20]提出一个考虑Von Kármán几何非线性和内阻的影响的旋转复合材料薄壁轴的不平衡弯曲振动模型，并且分别采用数值积分和多尺度法研究了旋转轴的非线性时间响应和主共振。但是，上述研究所采用的转子系统模型或者是基于各向同性分布参数转子的简化模型，或者是基于集中参数模型，尚未见到同时涉及复合材料内阻建模及其影响的各向异性旋转复合材料轴的耦合非线性动力学行为的研究报道。

本文提出一个考虑复合材料内阻的旋转非线性复合材料轴的动力学模型，研究复合材料旋转轴的内阻失稳和后临界动力学特性。复合材料轴被简化为一个具有大振幅的不可伸长的旋转复合材料空心梁，它包括非线性曲率和惯性的影响。内阻来源于复合材料的粘弹性耗散特性。从基本的复合材料应力-应变本构关系和应变-位移关系出发，在导出复合材料轴的应变能、动能和阻尼耗散能的基础上，采用扩展的Hamilton原理建立运动微分方程。建模过程对复合材料轴的壁厚(薄壁或厚壁)不做任何假设。为了预测旋转复合材料轴的稳定边界，首先采用复数坐标表示并借助于Galerkin法，对线性化弯曲振动方程进行求解，导出旋转复合材料轴的复特征方程，进而得到临界转速和失稳阈。研究了纤维铺层角、铺层方式和长径比的影响。为了研究旋转复合材料轴的后临界非线性行为和稳定性，采用Galerkin法对弯曲振动非线性偏微分方程组进行离散化，采用四阶Runge-Kutta法进行数值积分,获得位移时间响应图、相平面图和功率谱图,研究不同参数对旋转复合材料轴非线性动力学行为的影响。

1 运动方程

图1表示长度为L的旋转复合材料轴，轴的两端简支，直角坐标系(X,Y,Z)为惯性坐标系；(X0,Y0,Z0)为旋转坐标系，(x,y,z)为局部坐标系，惯性坐标轴与轴的横截面的主轴一致，坐标原点位于变形轴的中心线上的x点处。变形轴上x点沿X，Y和Z方向的位移分别为u(x,t)，v(x,t)和w(x,t)，扭转角为φ(x,t)。假定复合材料轴绕X以定常角速度Ω旋转；复合材料轴为细长的，因此剪切变形可以忽略不计；支承O是固定的，而支承O′沿X方向不受约束，所以复合材料轴沿其中心线的轴向是不可伸长的；此外，不考虑支承外阻尼的影响，复合材料的黏弹性耗散阻尼特性是系统中唯一的耗散来源。

图1 旋转复合材料轴结构示意图

旋转复合材料轴的动能表示如下[21]

(1)

式中:ω1，ω2和ω3分别表示坐标系(x,y,z)相对于(X,Y,Z)的转动角速度；其中，“·”表示对时间t求偏导，m和I分别表示单位长度的质量和截面惯性矩，分别为

(2)

(3)

式中:N表示复合材料的层数;ρ(k)是第k层的密度;rk和rk+1分别是第k层的内径和外径。

旋转复合材料轴的弹性势能为

(4)

其中，在柱坐标下的微体积元dV=rdrdαdx，r和α分别表示极角和极径。

柱坐标下表示的应力-应变方程为

(5)

(6)

柱坐标下的应变-位移方程为

εx=e+ρ2rsinα-ρ3rcosα

(7)

γxα=rρ1

(8)

式中:ρi(i=1,2,3)表示轴的曲率。

沿轴的中心线的应变e可以表示为

(9)

式中:“′”表示对x求偏导。

轴的曲率ρi和ωi(i=1,2,3)分别表示为[22]

(10)

(11)

式中:ψ=φ+Ωt,ψy和ψz分别表示轴的横截面绕z和y轴的转角;φ表示横截面绕x轴的扭转角。

ψz和ψy可分别表示如下

(12)

(13)

弹性势能的变分

(14)

将式(5)和(7)代入式(14)，可得

(15)

其中

(16)

由于旋转复合材料轴的支承O′在x轴方向是可运动的，所以，沿轴向不可伸长假设成立，即应变e=0，由此可得

(17)

与此同时，式(15)简化为

(18)

如果假设横向位移v和w是一阶无穷小量，则轴向位移u为二阶无穷小量。将式(12)和(13)代入曲率方程式(10)，展成泰勒级数，并只保留前三阶无穷小量，得

(19)

同理，将式(12)和(13)代入角速度方程式(11)，近似得

(20)

旋转复合材料轴阻尼耗散力的虚功

(21)

简谐稳态运动下的黏弹性复合材料满足下列本构方程

(22)

(23)

经过与式(18)类似的推导，可得

(24)

其中

(25)

D66(φ‴w′+2φ″w″+φ′w‴+4w′v‴w″+

w′2v(4)+2w″2v″+2w′v″w‴)-

D11(4v″v′v‴+w(4)w′v′+w′v″w‴+

3w″v′w‴+w″2v″+v″3+v(4)v′2+v(4))-

(26)

D66(φ″v″+φ′v‴+w″v″2+2w′v″v‴)-

D11(4w″w′w‴+v(4)v′w′+v′w″v‴+

3v″w′v‴+v″2w″+w″3+w(4)w′2+w(4))-

(27)

(28)

值得强调的是，式(26)，(27)和(28)是在旋转坐标系下得到的，并且，为了着重研究非线性惯性和非线性刚度的影响，上述方程中只保留了内阻的线性项。

圆形截面轴的扭转基础频率比弯曲频率大得多，扭转惯性项可以略去不计，此外，由于轴是细长的，转动惯量很小，所以与转动惯量相乘的非线性项也可忽略不计，据此，从上述方程中略去扭转惯性项以及非线性扭转刚度和惯性项，得弯-弯耦合非线性振动方程

D11(4v″v′v‴+w(4)w′v′+w′v″w‴+3w″v′w‴+

w″2v″+v″3+v(4)v′2+v(4))=0

(29)

D11(4w″w′w‴+v(4)v′w′+v′w″v‴+

3v″w′v‴+v″2w″+w″3+w(4)w′2+w(4))=0

(30)

或者

D11(4v″v′v‴+w(4)w′v′+w′v″w‴+3w″v′w‴+

w″2v″+v″3+v(4)v′2+v(4))=0

(31)

D11(4w″w′w‴+v(4)v′w′+v′w″v‴+3v″w′v‴+

v″2w″+w″3+w(4)w′2+w(4))=0

(32)

令

(33)

则有下列无量纲形式的运动方程

3w″v′w‴+w″2v″+v″3+v(4)v′2+v(4)+

(34)

3v″w′v‴+v″2w″+w″3+w(4)w′2+w(4)+

(35)

注：为简单起见，式(34)、(35)变量字母上的横杠均已去掉。

2 临界转速和失稳阈

(36)

设式(36)满足简支边界条件的解，具有形式

U=eiλnsinnπx

(37)

其中，λn=ωn+idn(n=1,2，…)为复特征值，实部ωn和虚部dn分别为固有圆频率和模态阻尼。显然，如果虚部dn大于0，则转子系统是稳定的，否则系统是不稳定的。

将式(37)代入式(36)，采用Galerkin法进行化简，得下列复特征方程

(38)

将λn的表达式代入式(38)，分离实部和虚部，则可导出下列方程

n2π2(2IωnΩ-n2π2γdn)-n4π4=0

(39)

2(1+n2π2I)ωndn-

n2π2(2IΩdn+n2π2γωn)+n4π4γΩ=0

(40)

为了求临界速度Ωcr，在式(39)和式(40)中令ωn=Ω=Ωcr，则有

(41)

2(1+n2π2I)Ωcrdn-

n2π2(2IΩdn+n2π2γΩcr)+n4π4γΩcr=0

(42)

由式(42)，得dn=0，代入式(41)，得

(43)

为了求失稳阈Ωinst.，分别在式(39)和(40)中令dn=0，同时令Ω=Ωinst.，得

(44)

ωn=Ωinst.

(45)

将式(45)代入式(44)，得

(46)

上述结果表明，Ωcr=Ωinst.，即临界转速等于失稳阈。由于本文模型并不包括外阻尼，所以，上述结论显然是成立的。这说明，旋转复合材料轴在超临界状态下会产生内阻失稳。

为了研究复合材料轴的铺层角和长径比对临界转速以及失稳阈的影响，数值算例取复合材料轴的平均半径为0.176 m，厚度0.010 16 m，采用角铺设[±θ]8的铺层方式，长度L根据长径比确定。复合材料力学参数如表1所示。

表1 材料力学特性

图2表示旋转复合材料轴的前三阶失稳阈随铺层角的变化曲线，同时也给出三种不同的长径比的影响。结果表明，失稳阈随着铺层角的增加而减小，这是因为纤维纵向的阻尼能力要低于其横向的阻尼能力(见表1)，所以，纤维越靠近轴的纵向铺设，沿此方向上的内阻能力也越弱，因此，导致旋转轴产生失稳的转速也就越大，即转子系统越不容易发生失稳。图2也表明，失稳阈随着长径比的增加而减小，说明在其它条件相同的情况下，长度较长的轴相对更容易失稳。这与文献[10]的结论是一致的。

图3表示旋转复合材料轴的前三阶失稳阈随长径比的变化曲线，其中也显示出铺层角的影响。这些曲线图2的结果是相对应。值得说明的是，由于临界转速与失稳阈相同，当旋转复合材料轴一旦超过临界转速进入超临界范围，就会产生不稳定自激振动。

3 非线性偏微分方程的离散化

为了研究旋转复合材料轴的动力学特性，首先将弯-弯耦合非线性偏微分方程组(34)和(35)化为常微分方程组进行数值积分。由于本文并不打算考虑内共振的情况，为此，取单模态做近似处理，采用Galerkin法进行离散化。简支复合材料轴的弯曲位移v(x,t)和w(x,t)可近似表示为

(47)

其中,n=1,2，…。

将式(47)代入运动方程式(34)和(35)，化简得弯-弯耦合非线性常微分方程组

(a) 第一阶

(b) 第二阶

Fig.2 First three instability thresholds versus ply angle for different length aspect ratios

(48)

(a) 第一阶

(b) 第二阶

Fig.3 First three instability thresholds versus length aspect ratio for different ply angles

(49)

4 非线性自由振动响应与稳定性

(1) 铺层角的影响

复合材料轴的基本参数仍然采用计算临界转速和失稳阈所使用的参数, 取模态阶数n=1。为了研究铺层角的影响，取长径比L/d=20，转速Ω=809 r/min，铺层角分别为0°、30°、60°，采用四阶Runge-Kutta法进行数值仿真，获得轴中点位置的弯曲自由振动时间响应图v(L/2,t)和w(L/2,t)，相平面图和功率谱图，如图4～6所示。结果表明，在转速不变的情况下，铺层角分别为0°、30°和60°的复合材料轴的响应，分别是衰减振动(渐进稳定)、等幅振动(临界稳定)和自激振动(不稳定)。原因在于，利用式(43)计算得到三个铺层角对应的第一阶临界转速和失稳阈分别为950 r/min，809 r/min和596 r/min，与之相对应的复合材料内阻分别大于0(耗散振动能量)，等于0(振动能量不耗散)和小于0(自激振动)。从功率谱图来看，上述3种情况均属于单频振动；与0°和30°铺层角对应的运动是小振幅线性振动，而与60°铺层角对应的运动是失稳导致的稳态大振幅极限环振动(见(b)相平面图)。事实上，具有负阻尼的线性自治系统的自由振动响应是发散的，而对于具有负阻尼非线性自治系统，非线性刚度的存在对自由振动振幅起限制的作用，自由振动响应由此不会无限增长，而是最终达到稳态的极限环振动。

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

(2) 长径比的影响

为了研究长径比的影响，我们取铺层角30°，转速Ω=809 r/min，长径比分别为18，20和30，得到复合材料轴的动力学响应数值结果，如图7～9所示。结果表明，转速固定不变的情况下，随着长径比的增加，复合材料轴的运动表现出渐进稳定的、临界稳定的和不稳定自激振动的演变过程，与此对应的第一阶失稳阈分别是999 r/min，809 r/min和359 r/min，依次大于、等于和小于给定的转速Ω=809 r/min，对应的内阻分别大于0，等于0和小于0，因此展示出三种不同的动力学响应特性。

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

图6 复合材料轴的自由振动响应(铺层角为60°)

Fig.6 The free vibration response of a composite shaft(ply angle 60°)

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

图7 复合材料轴的自由振动响应(长径比为18)

Fig.7 The free vibration response of a composite shaft(ratio of length over outer radius 18)

(3) 铺层方式的影响

取长径比L/d=30，转速Ω=391.06 r/min，铺层方式分别取[0°]16，[±60°]8和[90°2/0°12/45°/-45°]，对应的旋转复合材料轴的自由振动响应和稳定性仿真结果，如图10～12所示。结果表明，在给定的转速下，与铺层方式[0°]16和[90°2/0°12/45°/-45°]对应的响应是稳定和临界稳定的，而对应于铺层方式[±60°]8的响应，由于已经失去了稳定性，表现为大振幅的稳态极限环振动。原因是在三种铺层方式中，[±60°]8对应的第一阶失稳阈最小，为264.49 r/min([0°]16和[90°2/0°12/45°/-45°]对应的第一阶失稳阈分别是421.94 r/min和391.06 r/min)，因此，[±60°]8是上述三种铺层方式中相对更容易产生内阻失稳的铺层方式，从运动稳定性的角度来讲，显然也最不适合于在超临界状态下使用。

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

图9 复合材料轴的自由振动响应(长径比为30)

Fig.9 The free vibration response of a composite shaft(ratio of length over outer radius 30)

5 结论

研究了简支旋转复合材料轴的非线性自由振动与失稳特性。采用轴向不可伸缩复合材料大变形梁进行结构建模，其中包括曲率非线性和惯性非线性的影响，同时也利用复合材料的黏弹性耗散特性描述材料的内阻。针对线性化方程，采用特征值法研究了弯曲-弯曲耦合振动的临界转速与稳定边界，采用四阶Runge-Kutta法对非线性运动方程进行数值积分。主要结论如下：

(1) 由于本文模型只考虑复合材料内阻而不包含外阻尼，所以临界转速和失稳阈是相等的，这表明，旋转复合材料轴一旦进入超临界区就会产生内阻失稳。

(2) 在亚临界区内，复合材料内阻大于0，对转子自由振动的能量产生耗散和抑制的作用；当转速等于临界转速时，复合材料内阻等于0，不耗散能量，转子系统是临界稳定的；在超临界区内，复合材料内阻小于0，提供振动能量，转子系统是不稳定的，将产生自激振动。

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

图10 复合材料轴的自由振动响应(铺层方式[0°]16)

Fig.10 The free vibration response of a composite shaft(stacking sequence [0°]16)

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

图11 复合材料轴的自由振动响应(铺层方式[±60°]8)

Fig.11 The free vibration response of a composite shaft(stacking sequence [±60°]8)

(3) 在转速固定的情况下，随着铺层角的增加，复合材料转子系统的运动可能从稳定变为不稳定，会出现大振幅的稳态极限环振动。这是由于失稳阈随着铺层角的增加而减小。类似地，随着长径比的增加，复合材料转子系统的运动也可能从稳定变为不稳定，发生极限环振动。同样，此外，铺层方式对复合材料转子系统稳定性与非线性振动特性也会产生明显的影响。

(a) 时间响应图

(b) 相平面图

图12 复合材料轴的自由振动响应(铺层方式[90°2/0°12/45°/-45°])

Fig.12 The free vibration response of a composite shaft(stacking sequence [90°2/0°12/45°/-45°])

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