偏心圆柱薄壳输入功率流特性研究

张冠军, 李天匀, 朱 翔

(华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 武汉 430074)

圆柱壳结构在船舶与海洋工程、航空航天、石油开采及管道输送等领域得到了广泛的应用，如飞机机体和输油管道等都是圆柱壳结构。国内外学者对圆柱壳结构的静动态特性也进行了大量的研究。而偏心柱壳在实际工程中也有很大的应用空间，如偏心管道，另一方面，即使是针对原设计的圆柱壳结构，由于制造工艺、加工误差等诸多因素的影响，也可能产生不可忽略的偏心率等偏差[1-3]。由于其截面的特殊性，想要获得这类壳体的解析解或半解析解要比理想圆柱壳困难得多。这是因为圆柱壳的动力平衡方程可以化为一个常系数偏微分方程来进行求解，但偏心柱壳的动力平衡方程为一个变系数的偏微分方程，难以求解。因此关于偏心柱壳振动特性的相关研究目前还未广泛展开。

Chang等[4]最早对偏心柱壳进行了静力学分析，将偏心柱壳分为常厚度和变厚度部分，通过界面处位移及应力连续建立力学平衡方程，方程中存在大量的为满足连续性条件而引入的系数，不便求解，文中也只给出了理论推导，并未计算实际算例。针对偏心柱壳以及周向变厚度壳体，后来研究者主要采用传递矩阵法、级数展开法和有限元法等进行求解。熊路等[5]将偏心柱壳沿周向微分，假设在每个微段内壳体厚度是均匀的，采用传递矩阵法结合指数矩阵精细积分法求解了偏心柱壳的固有频率，文中只考虑了对称模态。黄玉盈等[6]采用传递矩阵法研究了一端刚固的轴向变厚度圆柱蓄水池的自由振动特性。曹雷等[7]同样采用传递矩阵法对轴向加肋变厚度圆柱壳体的自由振动特性进行了研究，但传递矩阵法受单元传递矩阵的计算精度、传递矩阵连乘过程中的累积误差以及计算机的舍入(或截断)误差影响，状态向量在传递过程中会产生一定的精度损失，对于指数矩阵还存在收敛稳定性问题，且计算效率较低。Hasheminejad等[8-9]通过级数展开假设壳体变量函数，对内外圆不同心的偏心中空圆柱体自由振动及声辐射问题进行了研究，通过二分法求解壳体的振动方程；该方法主要针对壁厚较厚的偏心柱壳，但该方法最后的频率方程过于繁杂，大量未知系数相互耦合，需要进行截断，存在一定截断误差。Bacciocchi等[10]采用一种广义积分法研究变厚度板壳的自由振动特性，该方法类似于有限元法对结构进行离散。Vidal等[11]则采用有限元法研究了中间带有偏心孔的圆柱壳的自由振动特性，该方法建模工作量较大且不利于参数化分析。

本文根据偏心柱壳截面的几何特性，将偏心柱壳转化为周向变厚度柱壳。基于Flügge薄壳理论[12]推导出偏心柱壳的受迫振动方程，采用波传播的思想将偏心柱壳位移以双Fourier级数形式展开，周向变厚度表示为周向角度坐标的函数，通过三角函数变换将变系数的偏微分方程组转换为周向模态阶数相互耦合的有限阶常系数线性方程组，通过求解得到偏心柱壳的受迫振动位移响应，进而计算偏心柱壳的输入功率流，并研究了壳体相关参数对输入功率流的影响。

1 研究对象

1.1 偏心柱壳截面的几何形状

偏心柱壳横截面如图1所示，A为外圆圆心，B为内圆圆心，r1为外圆半径，r2为内圆半径。O为AB中点，|AB|=e为偏心距。C为外圆上一点，OC交内圆于点D。

图1 偏心柱壳横截面示意图

根据文献[5]，偏心柱壳可视为以O为圆心，壳体平均半径为R=(r1+r2)/2，厚度为h(θ)=h0-ecosθ的周向变厚度圆柱壳，h0=r1-r2，表示壳体平均厚度。

1.2 基本假设及坐标系

偏心柱壳几何参数和坐标如图2所示，壳体无限长，材料密度为ρ，杨氏模量为E，泊松比为μ，材料阻尼因子为η。坐标系选取圆柱坐标系(x,θ,r)，其中x为轴向坐标，θ为周向坐标，r为壳体径向坐标，并设u,v,w分别表示壳体中面的轴向、周向和径向位移。

图2 偏心柱壳几何参数和坐标

2 基本理论推导

2.1 壳体中的位移及内力基本关系

根据Flügge薄壳理论，壳体的几何方程为

(1)

式中:εx和εθ为壳体中面内各点的线应变;γxθ为剪应变；κx，κθ和τ代表了中面内各点主曲率及扭率的改变。

壳体物理方程为

(2)

式中；Nx,Nθ分别为x和θ方向单位宽度上的面内力；Nθx和Nxθ为平面内单位宽度上的剪切力；Mx,Mθ和Mxθ,Mθx分别为单位宽度上的弯矩和扭矩。K和D分别表示壳体微元的拉压刚度和弯曲刚度，表达式为

(3)

壳体内的动力平衡方程为

(4)

式中:Qx和Qθ分别为x和θ方向单位宽度上的横剪力；F为壳体法向受到的外力，外法线方向为正。

将方程组(4)中第4式和第5式代入到第2式和第3式并联立第1式，可得到新的平衡方程

(5)

为便于推导，引入如下无量纲参数

(6)

φ记为偏心柱壳的偏心率，表示壳体偏心距与平均厚度的比值，用来衡量壳体的偏心程度。

此时有：

h=h0(1-φcosθ)

(7)

此时式(3)中壳体的拉压刚度K和弯曲刚度D均是与周向坐标θ有关的函数，设：

(8)

将式(7)代入式(8)中有：

K=K0(1-φcosθ)，D=D0(1-φcosθ)3

(9)

将式(1)，(2)，(9)代入式(5)中，可得到矩阵形式表达的平衡方程

(10)

其中各算子Lij(i,j=1,2,3)表达式如下：

L33=(f+Hf3+6Hf2f′+3Hf2f′2)w+

2.2 偏心柱壳的位移展开形式及外力表达式

参考图1可知，偏心柱壳仅有一条对称轴，即图中x轴，存在对称和反对称位移模式。对于对称位移模式，可以将壳体位移在轴向和周向展开成双Fourier级数形式

(11)

对于反对称位移模式，其展开形式为

(12)

式中:l是轴向波数解的序号;kl为壳体的轴向波数；Ul,n，Vl,n，Wl,n分别为对应于周向模态阶数n的壳体轴向、周向和径向位移的Fourier幅值系数。

设柱壳在点(x0,θ0)处受到简谐点激励载荷

F(x,θ,t)=F0δ(θ)δ(x)exp(iωt)

(13)

式中：F0表示作用在(x0,θ0)处的集中力幅值。当在壳体上作用多个集中点激励力时，将上式中的θ改写为θj(j=0,1,2,...)。

上式中，令x=0，θ=θ0得：

F(x,θ,t)=F0δ(θ0)δ(0)exp(iωt)

(14)

对于对称位移模式，将其展开成周向模态阶数叠加的形式：

(15)

联立式(14)和式(15)可得：

F0δ(θ0)δ(0)exp(iωt)=

(16)

对上式进行正交化处理可得：

(17)

对于反对称位移模式：

(18)

2.3 偏心柱壳的受迫振动方程

将式(11)或式(12)及式(15)代入式(10)，并通过三角函数变换，可以得到三个关于Ul,n，Vl,n，Wl,n相互耦合的新方程

(19)

式(19)中的位移幅值Ul,n，Vl,n，Wl,n关于不同周向模态阶数n相互耦合成无穷多个线性方程，需对方程组进行截断求解，即对n进行截断选取。

当n取有限项p时，可以得到3p个线形方程，并写成矩阵形式：

=F

(20)

M为3p阶方阵，由式(19)中的系数循环迭代而成。

则由式(20)可得：

(21)

则壳体位移幅值系数Ul,n，Vl,n，Wl,n可由式(21)得到。

2.4 壳体输入功率流

根据振动功率流的定义，因外激励力呈简谐变化，故位移响应和速度响应均呈简谐变化，设：

(22)

(23)

则：

(24)

因此，可以求得外力输入到结构的功率为

(25)

为便于比较，将输入功率流无量纲化为

(26)

将输入功率流进行级运算可得

(27)

式中:W0=1×10-12W。

3 数值计算及分析

3.1 算法收敛性及可靠性验证

对偏心柱壳输入功率流分析时周向模态阶数n的截断选取进行收敛性分析，由式(21)得到壳体振动位移，进而计算壳体的输入功率流。本文计算中采用文献[13]所提出的加阻尼数值积分法考虑材料阻尼因子的影响。验证模型参数：壳体无限长，材料密度为ρ=7 800 kg/m3，杨氏模量为E=2.1×1011Pa，泊松比为μ=0.3，壳体平均厚度h0=0.02 m，中面半径R=1 m，点激励力幅值F0=1 N，无量纲频率Ω=3，阻尼因子取η=0.01。

从图3可以看出，当偏心率φ较小时，偏心柱壳输入功率流收敛所需的截断项数p相对较少，当偏心率φ较大，尤其偏心率φ=0.7时需取更高的截断项数以保证结果收敛。随着截断项数的增加，计算结果的收敛精度会更高，但过多的截断项数会导致计算效率的降低。从图中可以看出，在截断项数p=60，偏心柱壳输入功率流趋于稳定，本文计算中取截断项数p=70。

图3 输入功率流随周向模态阶数的收敛性曲线

为了验证本文偏心柱壳振动理论模型及计算方法的可靠性，令偏心率φ=0，将偏心柱壳退化为圆柱壳，并将本文方法计算退化模型的输入功率流与已有文献[13]进行对比，模型参数按文献选取，结果如图4(a)所示。同时选取有限长偏心柱壳与FEM结果进行了对比，结果如图4(b)所示，(偏心柱壳长度L=50 m，壳体厚度h0=0.02 m，偏心率φ=0.5，其它参数如文献[13]；对于偏心柱壳有限元模型，为满足每个振动弯曲波波长内至少6个单元，则单元尺寸约为0.08 m，单元数量为50 000个)。

(a)

(b)

由图4可见本文方法计算结果与文献及FEM计算结果吻合很好，表明本文所建立的偏心柱壳振动理论模型及计算方法准确可靠。

3.2 激励力位置对壳体输入功率流的影响

对于偏心柱壳，截面各处的壳体厚度沿周向是变化的，激励力施加在壳体截面不同位置将对壳体的振动产生影响。本节研究了激励力分别施加在θ=0,π/2,π对壳体输入功率流的影响，激励力位置如图5所示，不同激励力下的输入功率流如图6所示。

图5 不同激励力位置

(a)

(b)

从图6可以看出，激励力施加在不同位置对偏心柱壳的输入功率流有明显的影响，激励力施加在θ=0的位置壳体输入功率流相对较大，施加在θ=π的位置输入功率流相对较小，主要由于在θ=0的位置，壳体截面厚度较小，相对刚度也较小，使得偏心柱壳的输入功率流增大，而在θ=π的位置，壳体截面厚度较大，相对刚度也较大，则输入功率流较小。

3.3 偏心率对壳体输入功率流的影响

对于偏心柱壳，偏心率大小不同，对偏心柱壳的结构刚度、振动特性等影响也不相同，本节研究了偏心率对偏心柱壳输入功率流的影响，同时也与圆柱壳(即偏心率φ=0)作了对比，激励力施加在θ=0处。图7给出了不同偏心率下偏心柱壳的输入功率流随频率的变化。

(a)

(b)

由图7可以看出，当激励力施加在θ=0位置时，不同偏心率下偏心柱壳的输入功率流曲线在总体趋势上是一致的：即随频率的增大不断出现峰值，整体趋势呈现先增大后趋于稳定。但偏心率对偏心柱壳的输入功率流幅值及对应的频率点也有明显影响：随着偏心率的增大，壳体的输入功率流也增大，圆柱壳的输入功率流最小，主要是因为偏心率的存在使其模态刚度降低，同时壳体输入功率流峰值向低频偏移。对于圆柱壳，在壳体环频率(对应于无量纲频率Ω=1)处壳体输入功率流最大，对于偏心柱壳，随着偏心率的增大，壳体输入功率流的最大值不断向低频移动。

3.4 壳厚比对结构输入功率流的影响

本节研究了不同壳厚比h0/R对偏心柱壳输入功率流的影响。图8给出了不同壳厚比偏心柱壳的输入功率流随频率的变化曲线。

(a)

(b)

由图8可以看出，壳厚比的改变对偏心柱壳的输入功率流也有较大影响，当壳厚比减小时，结构的输入功率流增大，峰值对应的频率向低频偏移，说明壳厚比减小，偏心柱壳刚度降低，抗振能力下降。壳厚比的改变对偏心柱壳输入功率流最大值所对应的频率没有明显影响。

3.5 材料阻尼因子对结构输入功率流的影响

本节研究了不同材料阻尼因子η对偏心柱壳输入功率流的影响。图9给出了不同材料阻尼因子偏心柱壳的输入功率流随频率的变化曲线。

由图9可以看出，材料阻尼因子主要影响偏心柱壳共振频率处的输入功率流，随着阻尼因子的增大，偏心柱壳共振频率处的输入功率流峰值降低，输入功率流曲线趋于平顺，表明材料阻尼因子能有效降低结构的共振响应，但对非共振频域影响较小。

4 结 论

本文基于Flügge薄壳理论推导出偏心柱壳的受迫振动方程，采用波传播的思想将壳体位移以双Fourier级数形式展开，周向变厚度表示为周向角度坐标的函数，通过三角函数变换将变系数的偏微分方程组转换为周向模态阶数相互耦合的有限阶常系数线性方程组，通过求解得到偏心柱壳受迫振动下的位移响应，进而计算偏心柱壳的输入功率流，得到如下结论：

(a)

(b)

(1) 通过与文献及FEM结果进行对比，验证了本文所建立的偏心柱壳振动理论模型及计算方法的准确性。

(2) 激励力施加在θ=0的位置，偏心柱壳的输入功率流相对较大；施加在θ=π的位置，输入功率流相对较小。

(3) 偏心柱壳的输入功率流随偏心率的增大不断出现峰值，且随偏心率的增大峰值向低频偏移，整体趋势线逐渐增大后趋于平稳。激励点在0°位置，偏心率越大则壳体的输入功率流也越大，圆柱壳的输入功率流最小。

(4) 当壳厚比减小时，壳体的输入功率流不断增大，峰值对应的频率向低频偏移。

(5) 材料阻尼因子能有效降低偏心柱壳共振频率处的输入功率流峰值，但对非共振频域影响较小。

[1] 龚有根, 贺玲凤. 含有初始凹陷缺陷圆柱壳稳定承载能力的实验研究与数值计算[J]. 实验力学, 2010, 25(1): 73-80.

GONG Yougen, HE Lingfeng. Experimental study and numerical calculation of stability and load-carrying capacity of cylindrical shell with initial dent[J]. Journal of Experimental Mechanics, 2010, 25(1): 73-80.

[2] 张盛, 金翔, 周桦. 加肋圆柱壳制造误差对声学性能的影响研究[J]. 中国舰船研究, 2011, 6(4): 43-50.

ZHANG Sheng, JIN Xiang, ZHOU Hua. Influence of construction error on sound radiation for ring-stiffened cylindrical shell[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2011, 6(4): 43-50.

[3] 王日清, 董枫. 高精度偏心套的加工及检测[J]. 科技情报开发与经济, 2004, 14(9): 212-214.

WANG Riqing, DONG Feng. Processing and measuring of the eccentric adjusting sleeve with high-precision[J]. Sci/Tech Information Development and Economy, 2004, 14(9): 212-214.

[4] CHANG M, CHANG L L. Analysis of the eccentric cylindrical thin shell[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 1994, 15(9): 887-895.

[5] 熊路, 李天匀, 朱翔, 等. 单层偏心圆柱薄壳的自由振动特性分析研究[J]. 固体力学学报, 2014, 35(6): 566-573.

XIONG Lu, LI Tianyun, ZHU Xiang, et al. The free vibration analysis of single layer eccentric cylindrical thin shells[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2014, 35(6): 566-573.

[6] 黄玉盈, 向宇. 变厚度圆柱蓄水池动力分析的传递矩阵法[J]. 振动工程学报, 1989(4): 23-32.

HUANG Yuying, XIANG Yu. Transfer matrix method on dynamic analysis of circular cylindrical tanks with variable wall-thickness[J]. Journal of Vibration Engineering, 1989(4): 23-32.

[7] 曹雷, 马运义, 黄玉盈. 环肋加强变厚度圆柱壳的自由振动[J]. 华中科技大学学报: 城市科学版, 2007, 24(2): 63-66.

CAO Lei, MA Yunyi, HUANG Yuying. Free vibration of ring-stiffened circular cylindrical chell with variable thickness[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology(Urban Science Edition), 2007, 24(2): 63-66.

[8] HASHEMINEJAD S M, MOUSAVI-AKBARZADEH H. Three dimensional non-axisymmetric transient acoustic radiation from an eccentric hollow cylinder[J]. Wave Motion, 2013, 50(4): 723-738.

[9] HASHEMINEJAD S M, GHAHERI A. Free vibration analysis of elastic elliptic cylinders with an eccentric elliptic cavity[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2016, 108: 144-156.

[10] BACCIOCCHI M, EISENBERGER M, FANTUZZI N, et al. Vibration analysis of variable thickness plates and shells by the generalized differential quadrature method[J]. Composite Structures, 2016,156(1):218-237.

[11] VIDAL P, GALLEGO E, GUAITA M, et al. Finite element analysis under different boundary conditions of the filling of cylindrical steel silos having an eccentric hopper[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2008, 64(4): 480-492.

[12] FLÜGGE W. Stress in shells[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1973: 204-222.

[13] 徐慕冰. 圆柱壳-流场耦合系统的振动波传播与能量流研究[D]. 武汉: 华中科技大学,1999.