加强应用意识 培养核心素养——兼谈高三数学《概率与统计》的备考策略

安徽省肥东县第一中学

孙家和 朱金凤 (邮编：231600)

2016年9月教育部发布《中国学生发展核心素养》，核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面.那么，应该如何理解数学核心素养？它对高三数学复习有怎样的启示？笔者以近两年高考概率统计题为例谈谈自己的看法.

1 高考试题的启示

例1(2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第19题)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性.(后面略)

这道题以工厂生产线的质量控制为背景，考查二项分布、正态分布与3σ原则和数据的处理能力，很好地考查了学生的阅读理解能力和概率与统计的思想方法.但是这道题在考场上吓倒一批，读晕一批，算迷一批,得分率很低！据统计该题全省均分为2.43分，有10万多人得0分.尤其是考生对于第(2)问中说明上述监控生产过程方法的合理性不知如何表述回答，进而影响到后面的解答.这与老师平时对《概率与统计》的教学中只要求学生机械的记忆公式，忽视概率统计中最本质的东西有很大关系！因此，数学核心素养不等于“知识人”，也不等于“技术人”，而是培养“完整人”.核心素养反映了数学本质与数学思想，是知识、能力、态度等不同成分在解决问题过程中的综合表现.

例2(2016年高考数学全国卷Ⅰ理科第19题)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(I)求X的分布列；

(II)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

本题考查图表数的转化、随机变量的分布列、风险与决策问题，注重阅读与提取信息的能力.这方面的考题背景切合实际、题意表述较长，所以平时应该加强学生信息提取能力，多让学生自己表述问题、理解题意.教师不能越俎代庖，类似考题在近年频繁出现，应该引起我们高度关注，它又常常与分段函数、分布列、优化决策等内容有机结合而综合考查.

2 复习与备考建议

概率统计应用题多以实际生活中的生产控制、风险与决策为背景，注重阅读理解、抽象概括、数据加工处理和数据应用能力，因此培养学生的应用意识、提高学生的应用能力显得尤为重要！针对全国高考新课标卷概率统计试题的特点，建议在高三复习备考时，应该梳理教材的每一个知识点，以近几年高考试题为抓手，提高分析和解决问题的能力.

2.1 理清知识脉络

在概率统计的复习中要以教材为基础，辨析基本概念，理清知识脉络.可以用三条主线将有关概念串联起来.

主线Ⅰ 统计问题的研究过程：收集数据(三种抽样方法)⟹整理数据(各种统计图、表)⟹分析数据(各种数字特征)⟹统计推断(常用统计方法)；

主线Ⅱ 随机事件的研究过程：各种事件⟹事件概率⟹基本概型；

主线Ⅲ 随机变量的研究过程：随机变量⟹概率分布的期望、方差⟹分布模型.

2.2 模块备考建议

(1) 概率的备考建议

在概率内容中，古典概型的复习应强化理解等可能事件、互斥事件、对立事件、独立事件等相关概念.关注典型模型如掷骰子模型、摸球实验，区分掷骰子模型中的同时掷与先后掷，摸球实验的放回与不放回，同时注意实际问题的迁移与对比分析；几何概型常与定积分运算、随机数模拟法等知识结合考查，关注典型模型如等待时间模型和常见模拟方法(操作试验法和随机数模拟法)等.

(2)统计的备考建议

统计知识的复习应当关注知识的发生与生成，遵循学生的认知规律，体现解决问题的过程.从为什么要抽样到如何抽样，到抽样干什么(估计总体)，再到估计的方法与合理性、能否改进估计方式等.选题以教材例题和全国卷试题为主，走出“偏、难、怪”的题海，讲解时应关注实际问题的数学化处理及如何建立模型，提高学生阅读能力，强化图表的分析与转化能力，培养数据分析与处理能力.如学习线性相关的内容时，让学生体会最小二乘法思想与回归分析，关注非线性拟合问题的转化处理，了解独立性检验的原理和计算方法等.

(3)分布列的备考建议

离散型随机变量的分布列是理科的考查内容，以解答题的形式出现，同时考查概率的运算、期望与方差等知识，其中二项分布、超几何分布是考查重点，常见的模型有射击问题、摸球试验、次品问题等.这部分内容的考题背景新颖且有价值，学生需要提取信息、判断抽象、分析归纳等思维过程，教学中可以使用多种素材训练不同情境下的同一类问题，与已有模型对比归纳，理解该类问题的本质.连续型随机变量主要考查正态分布的数据处理和3σ原则，教学中可以以高尔顿挡板试验让学生体会二项分布与正态分布的联系，感受极限思想.

总之，我们在《概率与统计》的复习中，要以培养学生的核心素养为抓手，引导学生用数学的思维去分析理解实际问题，提高学生的建模能力、数据分析和运算能力，才能发展学生的数学核心素养，提高复习效果.