梯形中平行四边形的面积最大问题

四川内江师范学院数学与信息科学学院

余小芬 刘成龙 (邮编：641100)

1 问题

图1

问题如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

2 对梯形中面积最大的平行四边形的特征分析

引理1在梯形ABCD内任作EFGH，则EFGH至少有一边(不妨记为边EF)满足以下位置关系之一：

(1)点E、F都落在梯形ABCD的边上；

(2)点E、F不全落在梯形ABCD的边上．此时，总存在梯形边上的两点M、N，使得MNEF．

引理1的说明：

(1)点E、F都落在梯形ABCD的边上，有以下情形(图2～图11)：

图2 图3

图4 图5

图6 图7

图8 图9

图10 图11

(2)点E、F不全落在梯形ABCD的边上．此时，EF所在直线与梯形ABCD的边相交于P,Q两点(P、E重合与Q、F重合不同时成立)，有以下情形(图12～图17)：

图12 图13(1)

图13(2) 图13(3)

图14 图15

图16(1) 图16(2)

图16(3) 图17

特别要指出的是，图12～图17中，若构造出的MN恰好和EFGH的边GH重合，则可归结为引理1(1)的情形；若GH夹在EF和MN之间，则EFGH可扩大为EFMN；若EF夹在GH和MN之间，则EFGH可扩大为MNGH．

因此，按上述扩大方式，引理1(2)中扩大后的平行四边形都可归结为引理1(1)中情形．所以只需讨论引理1(1)中各类平行四边形面积的最大值即可．

下面依次给出图3，图5，图6，图7，图8，图10，图11对应扩张后的最大面积平行四边形的作法(由于图2，图4，图9情形简单，此处略)．

观察图18～图24，不难得出梯形中面积最大的平行四边形的特征为：平行四边形的四个顶点全都落在梯形的边上．

图18 图19 图20

图21

图22

图23 图24

3 梯形中平行四边形最大面积的结论

图25

引理2如图25，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

证明如图25，过F作AB的垂线交AB(或AB延长线)于点N，过C作AB的垂线交AB(或AB延长线)于点K，过G作BC的垂线交BC(或BC延长线)于点P，交AD的延长线(或AD)于点Q．

下面给出梯形中平行四边形最大面积的结论．

图26

定理如图26，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

证明如图26，延长EF与CB的延长线交于点K．设EFGH的边EF=s，EF边上的高为l，AE=m，AF=n，则ED=a-m，FB=c-n，其中0≤m≤a，0≤n≤c(特别指出，当不等式中的m或n取等号时，对应EFGH的顶点位置较为特殊．例如：当m=0时，点A、E重合，此时边EF落在梯形边AB上)．

令f(n)=-(b-a)n2+(bc-2mc)n+mc2，其中0≤n≤c．

至此，本文开始提出的问题得到解决．