一个优美不等式的简洁证法

安徽省芜湖市沈巷中学

何业亮 (邮编：241012)

安振平老师在文[1]提出二十六个优美不等式，其中第五个为：

彭代元老师在文[2]中利用Schur不等式证明了该不等式，笔者认为此法有两大弊端：一是证明过程相当复杂，对思维能力和运算能力要求极高；二是条件x+y+z=1的使用，不仅给人一种“太突然”的感觉，也让人无法从中提炼出一般性的方法或技巧.本文给出第五个优美不等式问题的一种简洁证法，仅供大家参考.

证明因x、y、z为正实数，且x+y+z=1，

①

②

注意到安振平老师在文[3]中提出的恒等式：

(xy+yz+zx)(x+y+z)=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz，

所以原不等式成立.

评述利用条件1=x+y+z，在①、②两处实现齐次化，是此种证法的关键.齐次化是证明不等式的一种技巧，更是一种方法，它在高考和竞赛中占有一席地位.下面给出几道题，供大家应验：

1(第29届俄罗斯数学奥林匹克)设a、b、c∈R+，且a+b+c=1，证明：

1 安振平．二十六个优美不等式[J]．中学数学教学参考(上旬)，2010，1-2

2 彭代元．利用Schur不等式证明两个“优美不等式”[J]．数学教学通讯，2011(7)

3 安振平．三个无理不等式之间的链接[J]．中学数学月刊，2011(7)