一道预赛试题的解法探究

河南省方城县教研室

邵明宪 (邮编：473200)

题目设a、b、c为正实数，且满足(a+b)(b+c)(c+a)=1. 求证：

(2017年陕西省高中数学竞赛预赛二试第5题)

证法1(命题组的参考答案)由柯西不等式，得

故只需证明

(*)

事实上，由已知及均值不等式，得

事实上，由赫尔德不等式、均值不等式及已知，得

从而原不等式成立.

进一步探究知，该题还可以如下简便证明.

证法2由均值不等式和柯西不等式，得

由已知及均值不等式，得

所以原不等式成立.

由已知及均值不等式和柯西不等式，得

评注证法2和证法3都是在常规方法入手后，从整体视角确定解题目标，并根据目标探索利用已知条件的途径，取得简单自然解题之效果.

结语解题活动是在目标意识调控下有目的的思维过程，恰当的解题目标的实现，不仅仅是可以行得通，重要的是能够走得好. 因此，坚持对问题从多角度展开探索，通过比较和鉴别，选出理想的解题方案，是实现简单自然解题的关键和保证.