也谈数学教育应追求数学精神

江苏省江阴市第一初级中学

钟珍玖 (邮编：638400)

拜读孙伟刚老师的文章《数学教育应追求数学精神》后深有同感：数学的方式是数学育人的根本途径，数学精神的激发是数学教育工作者追寻的教育价值.在平时的教学中，对于数学教育的价值也有一些思考，作为对前文观点的补充特撰写下文，以期同行斧正.

《数学教育应追求数学精神》认为数学精神应包含三个方面：理性精神、求真精神、创新精神，从数学本身特点和数学发展的历史来看，数学精神还应包括：自由的精神、追求“数学美”的情感和哲学的思辩.

1 数学教育追求自由的精神

从数学的本质来看，数学是模式建构的学科，这就决定了数学在模式建构的过程就有多样性的特点，也就是数学创造的自由性. 因此，学生在学习数学和解决数学问题时也具有思考的多样性，具有思想驰骋的自由性.

案例1“一元二次方程复习课”教学片段

问题定义：如果关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称此方程为“完美”方程. 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

生1：根据一元二次方程的求根公式：

由方程有两个相等的实数根得x1=x2，所以b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0,得a=c.

生2：可以简化上述方法，由根的判别式知b2-4ac=0，又a+b+c=0，同样可得a=c.

生4：由生3的解法得到启发，方程必有两个相等的实数根x1=x2=1，则原方程可表示为a(x-1)2=0，即ax2-2ax+a=0，比较ax2+bx+c=0的系数可得：a=c，还可以得出另一结论b=-2a.

上述简单问题的解决，通过充分调动学生思维的主动性，解题的方法多样，极大地体现了数学教学应追求自由的思考、自由的表达、自由的创造.这样的教学方法也正体现了章建跃博士所提出的数学问题思考的“创新性”和“随意性”.

2 数学教育追求数学美的情感

古希腊伟大的哲学家亚里士多德早就指出：“认为数学的科学全不涉及美或善是错误的……数学的科学特别体现秩序、对称、和明确性，而这些正是美的主要形式. ”古今中外的数学家和数学教育家对于数学美都有很详尽的表述和深入的研究，在数学发展史上曾经把美学的标准作为数学研究的一个准则. 著名的数学家冯·诺伊曼曾经说过：数学家选这个课题，或者选其他课题，基本上是自由的. 而对于决定选题、选题的标准、成功与否的标准，主要是美学的.

案例2苏科版九年级上册“圆的内接四边形”教学片段

师：经过不在一直线上三点可以确定一个圆，经过任意四个点(无三点共线)能够确定一个圆吗？

生1：经过任意四个点(无三点共线)不一定能确定一个圆.

师：为什么？

生1：因为经过平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上.

师：数学追求严谨的推理，能够推导出上述结论吗？

生1：假设平行四边形的四个顶点在同一个圆上，那么圆心到四个顶点的距离相等，四边的垂直平分线交于同一点，而平行四边形的对边平行，它们的垂直平分线也是平行的，这是不可能的.

师：很好，如果要证明某个命题是假命题，我们只需要举出反例.类比“圆的内接三角形”、“三角形的外接圆”的概念，你认为如何定义“圆的内接四边形”“四边形的外接圆”的概念？

生2：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形，圆称为四边形的外接圆.

师：学习需要深入思考，那么圆的内接四边形有何性质呢？

图1

图2

图3

生3：圆的内接四边形对角互补，如图1，∠A的度数等于______度数的一半，∠C的度数等于______度数的一半，则∠A+∠C=180°.

师：你能用所学的定理推导出圆的内接四边形的性质吗？

学生陷入了沉思……

师：能否类比圆周角定理的发现过程，来发现和证明圆的内接四边形的性质呢？

生4：如图2从特殊情况入手，当BD是⊙O的直径时，结论是成立的.

因为BD是⊙O的直径，所以∠A=∠C=90°，

所以∠A+∠C=180°，同理∠B+∠D=180°.

当点O不在四边形ABCD的对角线上时，如图3，证明如下：

连接BO并延长，交⊙O于点E,

由图2证明可得：∠BAE+∠BCE=180°，

因为∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BCE=∠BCD-∠DCE，

所以∠BAD+∠DAE+∠BCD-∠DCE=180°，

因为∠DAE=∠DCE，

所以∠BAD+∠BCD=180°.

图4

师：能用文字语言概括一下我们发现的结论吗？

生4：圆的内接四边形对角互补.

(正当老师准备继续讲解后面的内容时，还有学生举手发言)

生5：还有其他的方法证明这个定理，如图4，证明如下：

连接OA、OB、OC、OD，

因为OA=OB=OC=OD，所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，

所以∠2+∠3+∠6+∠7=∠1+∠4+∠5+∠8=180°，所以∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°.

从定理的发现与证明的过程可以看出，数学之美贯串其中，圆周角、圆心角、所对的弧的度数，其本身都是互相联系的，体现了数学内在统一美、和谐美.这种对于美的追求和补“美”的过程也具有方法论的价值，构造直径和半径解题，是圆的问题中最为常用的辅助线的作法. 数学之美在数学中俯拾皆是，值得教者研究和应用.

3 数学教育追求哲学的思辨

从数学的发展史来看，数学与哲学从来就是密切相关的，数学教学理应培养学生的辩证唯物主义观，有助于学生形成正确的数学观、世界观. 数学中的辨证思想很多如：变与不变、运动与静止、一般与特殊、整体与局部等等，以下仅以“动”与“静”的关系为例作说明.

案例3一道动态问题的教学过程

图5

图6

如图5，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，点C和点M重合，BC和MN在一条直线上.令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在的直线向右以1cm/s的速度移动(如图6)，直到点C与点N重合为止.设移动t秒后，矩形ABCD与Rt△PMN重叠部分的面积为Scm2.求S与t之间的函数关系式.

图7

图8

图9

分析与解此题为典型的运动型问题，而且具有一定的综合性，初看似乎和静止无关.实际上该问题的解决恰好就是运用了“动中有静”，根据点C运动的三个临界状态：即点C在点M和F之间，点C在点F和点T之间，点C在点T和N之间，找到三种对应的静止状态：即重叠部分为三角形、梯形、五边形，化动为静，关键就是运用辩证的思想把运动过程中的三个临界点看成静止的状态，找到分类标准进行分类讨论，这种哲学的思考不仅可以培养学生的哲学观，还提供了解动态问题的一般方法，简解如下：

(2)当2

此时S=2t-2 ；

(3)当6

辨证唯物主义认为：运动是无条件的、绝对的，静止是有条件的、相对的，动中有静，静中有动，世界上一切事物的存在和发展，都是绝对运动和相对静止的统一. 数学中也存在运动和静止的对立统一关系，动静关系，相互依存，相互制约，在解题中若能运用好“动”与“静”的关系，则能理解运动问题的实质，增强解决运动类问题的能力，有助于形成哲学的思辨能力. 在教学中，教师若能根据教学内容的特点，适时、循序渐进地进行辨证唯物主义观点的渗透，可行并且是有效，学生定能中从受益，从而实现数学教育功能的最大化.

1 孙伟刚.数学教育应追求数学精神[J].中学数学教学参考，2016(12)：1-2

2 郑毓信.数学哲学与数学教育哲学[M].南京：江苏教育出版社，2007：165

3 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：80-85