分析错解成因 回归问题本质

安徽省合肥市第三中学

严华兰 (邮编：230000)3

合肥市中学数学特级教师工作站

许晓天 (邮编：230001)

1 问题提出

在合肥市2017年第二次教学质量检测中，数学理科试卷第21题的函数题，教师和学生反映：第(II)题形式上与2015年合肥市第一次教学质量检测理科数学试题21题第(II)题、2016年新课标卷I理科数学高考试题21题第(II)题形式上完全相同，但仿照这两道例题的解法，都无法完成.由于许多教师都很重视此类问题，此两道试题都讲过且不止一次训练过此种题型，然而，检测的结果出乎大家意料，全市没有一位学生完全做对此题.因为三道题的第(II)题均与函数的极值点与极值点左右的增减速率有关，姑且把它们归为一类.本文就如何回归导数本质，归纳和发现其中的异同，让学生充分的理解题意而合理的解答此题，谈谈笔者的拙见.

2 试题呈现

例1(2015年合肥市第一次教学质量检测理科试题)设函数f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x，a∈R.

(I)求f(x)的单调递增区间；

(II) 若y=f(x)的图象与x轴相切于原点，当0

求证：x1+x2<8．

例2(2016新课标I理科试题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(II)设x1、x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

例3(2017年合肥市高三第二次教学质量检测试题)已知f(x)=ln(x+m)-mx.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)设m>1，x1、x2为函数f(x)的两个零点，求证：x1+x2<0.

3 解答分析

先展示例1，2的第(II)问的解答：再探究例题3的解答(为了节省篇幅，第一问解答省略).

例1解(II)f′(x)=3x2-6ax+3(2-a)，由f′(0)=0，得a=2.

f(x)=x3-6x2，f(0)=0，由(I)解答知f(x)在(-∞,0)，(4,+∞)上单调增，在(0,4)上单调递减，故a=2符合题设.

由于f(x1)=f(x2)，04，则8-x2>4，

又f(x)=x3-6x2在(4,+∞)上单调递增，所以x1+x2<8等价于f(x1)

而f(x2)-f(8-x2)=(2x2-8)(x2-4)2<0.

所以f(x2)

故x1+x2<8.

例2解(II)不妨设x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

设g(x)=-xe2-x-(x-1)ex，则g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)．

所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)=0，故当x>1时，g(x)<0．

从而g(x2)=f(2-x2)<0,，故x1+x2<2．

从两题的试题看，例1更具有普遍性，因为例2中的两个零点是等函数值点的特殊情况；从解答看，方法一致，但例2不能直接判断差值的大小，需重新构造函数，再利用导数对差值函数符号进行确定.其实，例2(II)可以推广为： 若f(x1)=f(x2)(x1

由例2解答知：即证明：

f(x1)>f(2-x2)，也即f(x2)>f(2-x2)，

即(x2-2)ex2+a(x2-1)2>-x2e2-x2+a(1-x2)2，即-x2e2-x2-(x2-2)ex2<0.以下证明相同.

可以看出：推广命题的证明比特殊情况下(零点)的证明，思路更明确和自然，因为参数a直接抵消了.

例3参照例1例2解法尝试求解如下：

4 回归本质

我们要回到学生完全“懂”的例1和例2，只有完全明白其中能够解决的道理，方知例3不能完成的原因,以及如何寻找解决此问题的有效方法.回归导数的本质作用：增减性和增减的快慢.用它来说明三例题，学生思维定会“豁然开朗”，不会拘泥于已有的“套路”.

图1

图2

先看例1(II)，函数f(x)=x3-6x2的图象如右图1：

图3

图4

①

再说明极值点为负值的目标达到了.

图5

②

②说明不等号方向与求证不等号方向一致.

满足①、②说明思路正确，可以继续证明了.

通过以上一类函数题回归导函数本质的例题教学，学生更加透彻理解了导函数的作用：增减性和增减速率的大小.与极值点左右两边单调性有关的问题：首先求导数并判断原函数单调性,这是解题的基础；再判断极值点两边增减速率的大小，从而得出原函数较为准确的图象，最后通过学生直觉思维，得出明确的解题思路.

只要我们的数学概念、命题和解题等方面的教学回归数学内容的本质，就会“入木三分”地抓住了解决这些数学问题的关键，而不会被数学情景的“复杂性”、数学表征的“抽象性”和数学解题的“经验性”所干扰和迷惑.长此以往，学生数学学科的核心素养一定能够极大地提高.

1 许晓天.优化例题教学 力促高效解题[J].中学数学教学参考(陕西),2015(4)