想说懂你不容易 反复研读方知味

安徽省合肥市特级教师工作站

史承灼 (邮编：230051)

有幸观摩了28节合肥市包河区初中青年数学教师课堂教学评比课，其中的一个课题是沪科版九年级上册第23章第1节“锐角的三角函数”第1课时，内容是“正切”的概念.随着课程改革的逐步深入，人们越来越重视教师的专业成长，教研活动也逐步常规化并显现出成效，参赛教师态度积极认真，在课堂教学中各显神通精彩纷呈，整体教学水平逐年提升.但同时也暴露出一些问题，其中最为典型的表现是有的教师没有读懂教材，没有弄清教材的编写意图，以至于没能讲清讲透“正切”概念.一般说来，能够参加县、区一级的课堂教学评比的教师应该都是各学校的骨干，参赛前也都应该在学校里经过了若干次的课堂教学打磨，教学设计也应该是学校集体，至少是备课组集体备课的结果(本次比赛的课题是提前一周抽签决定的)，因此，从这个角度来看，研读教材缺乏火候应该是一个较为普遍的问题.本文以沪科版“锐角的三角函数(第1课时)”的教学为例，兼谈教师如何读懂教材，进而提高课堂教学质量.

1 教学案例

在这次的课堂教学评比中，有教师的课堂教学环节与教材的编排大体一致.

1.1 正切概念背景

沪科版教材是以汽车的爬坡能力作为情境，引入问题：怎样描述坡面的坡度即坡面的倾斜程度呢？

1.2 正切概念教学

在图1中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎样判断的？

图1

在图2中，坡面AB与A1B1哪个更陡？你又是怎样判断的？

图2

图3

2 案例分析

教师的教学设计和课堂教学，不是说一定要对教材进行重组或改编，如果教材本身编写得很好，教师不如就当一回“拿来先生”也无妨.但其前提是必须读懂教材，透彻理解教材，否则以师之昏昏，又怎能使学生昭昭呢？然而，在这次的教学评比观摩中发现，有的教师并没有真正读懂教材，只能“照本宣科”，教学效果可想而知.正切概念的背景分析见下文“3.1.1”，这里着重分析正切概念的形成过程.

2.1 变化过程中的两个变量

众所周知，初中阶段是以“变量说”定义函数概念的，而学生对于锐角三角函数中的两个变量的理解本身就是一个难点，因此，需要教师慢化过程，耐心引导.在图1和图2中，显然有一个直观的方法判断哪个坡面更陡，就是看锐角A的大小，锐角A较大的坡面更陡，锐角A是一个变量——自变量.将坡面抽象成直角三角形后，还有一个判别坡面陡缓的方法，即锐角A的对边与邻边的比值，比值较大的坡面较陡，锐角A的对边与邻边的比值是另一个变量——因变量.

2.2 正切函数的建立过程

但在很多时候锐角A的大小不易区别，这时又该如何判断呢？结合图形中所给出的条件，可以考虑从边的角度进行判别.可以看出，教材的编排是以层层递进的三个层次逐步深入的.

在图1中，两个坡面的水平距离相同，铅直高度较大的坡面更陡，这是通过直观可以判断的.但仅有这样的判断显然是不够的，因为我们需要建立锐角A与相应的边之间的关系，否则我们不能从根本上建构锐角的三角函数关系.因此，需要理解出这里的隐性含义，即在两个坡面的水平距离相同的情况下，锐角A较大，其铅直高度也就较大，坡面更陡.这是第一层理解.

第二层理解.在图2中，两个坡面的水平距离和铅直高度都不相同，直观上看后者的坡面更陡.此坡面的锐角A较大，锐角A的对边与邻边的比值较大.至此，我们理解了，在直角三角形中，存在两个变量，锐角A和锐角A的对边与邻边的比值，并且，随着锐角A的变化，锐角A的对边与邻边的比值也发生了相应的变化.

第三层理解.在图3中的这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，锐角A的对边与邻边的比值总是一个固定值.这说明对每一个锐角A的值，都有唯一一个锐角A的对边与邻边的比值与它对应.

2.3 正切函数概念

根据上面的分析，对照函数的定义，正是由于随着锐角A的变化，锐角A的对边与邻边的比值也发生了相应的变化，并且对每一个锐角A的值，都有唯一一个锐角A的对边与邻边的比值与它对应.所以，在Rt△ABC中，∠C是直角，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切函数，简称∠A的正切，记作tanA，即

3 教学建议

上好课的前提是备好课，备好课的前提之一是读懂教材，读懂教材编写的意图，既要读懂教材中的显性的知识和方法，更要读懂教材中的隐性的知识和方法，唯有如此，我们才能结合学情，优化教学设计，提高教学质量.

3.1 正切函数概念教学

鉴于上述对教材的分析理解，在教学中要引导学生切实理解正切函数概念的形成过程.按照章建跃先生的观点，要扎扎实实地完成概念形成的每一个步骤.[2]

(1)背景引入：考虑到九年级学生对汽车爬坡能力缺乏体验，可以将引入情境改为上楼的楼梯问题，将楼梯抽象为坡面，显然是几乎所有的初中生都有这样的体会，坡面更陡的楼梯上起来更累一些.并将楼梯抽象成直角三角形，坡面的倾斜程度即为斜边的倾斜程度.

(2)属性分析：坡面倾斜程度可以用锐角A的大小来描述，也可以用锐角A所在的直角三角形中边的关系来描述。这里，为了形成锐角的正切函数概念，我们只考虑锐角A的对边与邻边的比值.

(3)概括概念的本质属性：在坡面倾斜程度的变化过程中，有两个变量，将坡面抽象成直角三角形后，一个变量是锐角A，另一个是锐角A的对边与邻边的比值；随着变量锐角A的变化，锐角A的对边与邻边的比值也发生了变化，角A不变对应的比值也不变，并且对每一个锐角A的值，都有唯一一个锐角A的对边与邻边的比值与它对应.

(4)下定义：如前所述，这里从略.需要注意的是要交待清楚正切函数的符号特点.

(5)概念辨析：从正反两个方面分析概念中关键词的含义，如前提是直角三角形，锐角A的对边与邻边的比值是锐角A的正切函数，其中锐角A是自变量，锐角A的对边与邻边的比值是因变量等.

(6)用概念做判断：通过解决一些较为简单的问题，形成用正切函数概念作判断的基本规范.

(7)概念的“精致”：建立正切函数与相关概念的联系，如以前学过的函数、三角形中其他的边、角之间的关系等.正切函数和即将要学习的正弦函数与余弦函数，描述的是直角三角形中的边与角之间的关系.

3.2 正切与正切函数概念的教材编排商榷

沪科版教材是首先定义正切的概念，类似地定义了正弦、余弦的概念，在此基础上给出“锐角A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数。”以笔者的教学经验来看，这样的编排不利于学生从本质上理解锐角的三角函数概念，也给锐角的三角函数概念的应用设置了一定的障碍.因此建议可作调整：正切函数(简称正切)——正弦、余弦函数(简称正弦、余弦)——锐角A的三角函数(锐角A的正弦函数、余弦函数、正切函数都叫做锐角A的三角函数).透彻理解正切函数是学习并掌握锐角的三角函数的前提，也是后续知识如任意角的三角函数、解析几何等学习的基础.

4 结束语

教材的编写是专家团队集体智慧和经验的结晶，有其自身的逻辑性、整体性和结构体系，材料的选取和编排也有其自身的独特优势，很多情况下，我们可以是“拿来主义”者.但“拿来主义”并非照本宣科，需要结合我们的教学实际，有所调整和取舍，要灵活运用并驾驭教材，真正实现“用教材教”，而不是“教教材”.何况教材的编写因受各种各样条件和因素的影响，不可能是放之四海而皆准的“真理”，这就更加说明了教师读懂教材的重要性.读懂教材，不仅要读懂教材的“显性价值”——文本有什么？为什么这样编写？这样编写的目的是什么？更要读懂其“隐性价值”——数学教学价值，借助教材，明白新知识的生长点在哪里？清楚在知识形成、建构、应用过程中，要让学生学会哪些知识、训练哪些技能、体验哪些思想、积累哪些经验？还要读懂其“育人价值”——数学教育价值，要挖掘出有利于学生智力发展的潜在因素和情感发展的思想文化价值.读懂教材，才能实现由教材的“复制者”转变为教材的“创造者”，使教材“增值”，使课堂充满活力.[3]

1 新时代数学编写组.义务教育教科书·数学九年级上册[M].上海：上海科学技术出版社，2014:112-113

2 章建跃.章建跃数学教育随想录(上卷)[M].杭州：浙江教育出版社，2017:360

3 史承灼.情境导入坚持“三性”，法则教学注重“三然”[J].中学数学，2018(1)