基于工具主线的《机械工程控制基础》教学方法研究

穆 彤

（天水师范学院机电与汽车工程学院，甘肃 天水 741000）

0 引言

机械工程控制基础课程是机械及近机类专业的一门理论性很强的专业基础课，其不仅是宏观上使学生们建立系统与其输入、输出关系，并利用控制论的相关方法完成系统性能分析与校正的必备条件，也是进一步探索机械工程及其相关领域的基本知识储备。然而，该课程因其数学理论性强、公式推导复杂、图表曲线多等特点，与其他工科专业课程相比，是一门偏理科的课程，多数机械专业学生感到难学，同时，就课程内容而言，其所涉及的知识面广，在有限的学时内按照教材章节逐一讲解的方式，系统性不强，往往更难以让学生们理解和掌握，教学效果差。

如何在有限的教学时数内使学生们克服畏难情绪，建立起机械系统控制理论知识体系，掌握机械系统的稳定性、快速性和准确性分析方法，已成为教师在教学实践中不断探索的问题。本文旨在提出一种以拉氏变换，频率特性和Matlab/Simulink工具为主线的教学方法，通过强调数学/软件工具在教学中的基石作用，合理制定教学策略，安排教学进度，帮助学生直观建立起机械工程控制论的基本知识框架体系，加深对机械系统性能的相关理解，并能够将理论与实践相结合，达到优化教学效果的目的。

1 课程结构分析

在本科阶段教学中，本课程主要涉及经典控制理论的相关内容及其应用，即系统稳定性、快速性和准确性三大性能的分析与校正，其结构框架如图1所示。其中，系统的快速性与准确性分析都依赖拉氏变换与逆变换这一数学工具的熟练掌握，而稳定性分析与系统的频率特性密不可分。如若按照三大性能的分析来安排教学，学生会因为各知识模块之间错综复杂的交织关系及相关数学工具应用能力的薄弱而感到混乱、难学，同时，系统稳定性作为三大性能中最为重要的性能，在分析时首先要求学生能够利用频率特性绘制Nyquist图和Bode图，但由于工科学生的非理科思维及对数学方法应用能力的欠缺，使得频率特性求解困难、精确图像的绘制难以实现。

因此，在有限的教学学时中，应该明确各知识模块的主次及其关联性，合理取舍各模块内容，探索一种更适宜工科学生学习偏理科课程的教学方法，实现事半功倍的教学效果。

图1 课程框架图

2 课程教学主线设计

通过梳理机械工程控制基础课程的主要内容，明确课程内容的主次及相互关联，总结出学习该课程的三条主线，即拉氏变换线、频率特性线和Matlab/Simulink工具线，如图2所示。在教学实践中，首先将拉氏变换及相应的复变函数内容放在重要的位置上，在学生熟练掌握该数学工具基础上，再进行系统数学模型及其快速性、准确性分析的教学；然后，利用拉氏变换与频率特性之间的关联，梳理出系统频率特性的求取方法，并在此基础上完成系统稳定性分析的教学；最后，利用Matlab/Simulink软件强大的建模、图形处理功能和可视化界面激发学生学习的兴趣和积极性，并通过应用控制系统分析、设计的软件，真正使理论与实践相结合。

图2 基于数学/软件工具的教学主线

2.1 拉氏变换教学主线

拉普拉斯变换（Laplace变换，简称拉氏变换）是将时域函数映射为复数域函数，以简化计算的一种数学工具[1]。在机械工程控制理论教学中，利用拉氏变换及复变函数的相关理论可以实现时域微分方程到复数域代数方程的转换，极大地简化计算，所以以拉氏变换为基础的理论是解决系统模型建立和系统快速性、准确性分析的重要数学工具。而华中科技大学出版社杨叔子主编的《机械工程控制基础》和科学出版社韩致信主编的《机械自动控制工程》等诸多教材[2-3]都未对拉氏变换进行详细的讲授，机械专业学生却未曾学习过相关理论。如若以系统性能为教学主线，在进行系统相关性能分析时再适时补充学习拉氏变换相关知识，不但会让学生对本来就难以理解的拉氏变换及其性质感到混乱，产生畏难情绪，进一步影响各知识模块的教学，而且往往会因学时受限，知识点顾此失彼，难以达到良好的教学效果。

因此，在教学实践中，首先深入学习拉氏变换及相关性质，建立系统的数学模型后，再介绍系统时间响应和稳态误差的分析方法，建立拉氏变换教学主线（图 3）。

图3 基于拉氏变换的教学主线

2.2 频率特性教学主线

频率特性通过建立系统时间响应与其频谱间的直接关系，将传递函数引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性，更适宜解决工程实际问题。传递函数作为系统的数学模型描述，工程实践中通过分析法往往难以求得，更多的采用试验的方法首先求得系统的频率特性，再利用传递函数与频率特性之间的关系得到，同时，频率特性的图示法也为系统稳定性的判断提供了新的思路。

但是，在教学实践中存在：一是其理论枯燥、推导复杂；二是频率特性的图示法只能概略的绘制出图形，且计算稍有偏差就会导致后续错误。针对以上问题，我们不再拘泥于教材，重新梳理所有相关知识间的关联，将频率特性与传递函数、频率特性的极坐标图（Nyquist图）和对数坐标图（Bode图）、Nyquist判据和Bode判据融合在一起，帮学生建立起一条频率特性主线（图4）。

图4 基于频率特性的教学主线

2.3 Matlab/Simulink教学主线

机械工程控制基础是一门理论与工程实践紧密结合的机械类专业基础课，在教学过程中，一是需要进行大量的数学运算以及图表绘制，尤其是在分析参数多的时候，手绘图像耗时长、不准确、直观性差[4]；二是在讲解系统参数对于系统性能存在的影响时，也很难在有限的学时内观测到系统响应的结果；三是作为应用型新兴本科院校，课堂教学如果偏重于理论教学而缺乏实践环节，就会使得学生难以将所学知识与实际应用相结合，弱化了学生综合素质和创新能力的培养。

针对以上问题，结合应用型新兴本科院校对机械工程控制基础课程教学的目标和特点，基于Matlab/Simulink软件建立教学主线，实现系统的建模、仿真、设计和分析，具体来说，主要包括以下几个方面：

（1）系统的数学模型描述及建模

num=[25]；

den=conv（[1]，conv（[4，1]，[1，2，25]））；

G=tf（num，den）；

然后，由于实际系统常常是由几个简单子系统通过串联、并联和反馈连接的方式构成，因此，在教学实践中，再通过框图建模来建立系统的模型，如图5所示。

图5 系统框图建模

（2）系统动态特性分析

图 6 为 ωn=1，ξ分别取 0，0.5，1，1.5 时利用simulink建立的系统模型以及对应的单位阶跃响应曲线。随着ξ的变化，系统的单位阶跃响应曲线也随之发生了变化，ξ＜1时，二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程为衰减振荡，随着ξ的减小，其振荡幅度愈强，当ξ=0时，系统响应曲线呈现等幅振荡。而随着阻尼比ξ的不断增大，输出曲线呈现单调递增。

图6 系统单位阶跃响应曲线

（3）系统稳定性分析

根据解析法计算系统的频率特性并通过绘制Nyquist图或Bode图判断系统稳定性，一直以来都是教学的重点和难点。在基于Matlab/Simulink的教学主线中，首先利用Matlab软件强大的图形处理功能和良好的可视化界面，绘制系统的Nyquist图和Bode图，再结合理论教学中对Nyquist判据和Bode判据的讲解，判断系统的稳定性。下面举例说明。

①编制Matlab程序

num=[4，1]；

den=conv（[1，0，0]，conv（[1，1]，[2，1]））；

margin（num，den）；

nyquist（num，den）；

②运行上述程序，即可绘制出系统的Nyquist图和Bode图（如图7、图8所示）。

图7 系统Nyquist图

图8 系统Bode图

③图像分析

从图7中可知，系统开环Nyquist轨迹由于存在积分环节出现了无穷大的圆弧，顺时针包围（-1，j0）点两圈，N=2，而开环为最小相位系统，P=0，所以根据Nyquist稳定性判据，闭环系统不稳定。

同样的，对比图10中的幅值穿越频率ωc=1.12rad/s和相位穿越频率 ωg=0.354 rad/s可知，ωg＜ ωc，根据Bode稳定性判据，此种情况下，开环最小相位系统对应的闭环系统也是不稳定。同时，从系统Bode图中还可直接得到幅值裕度Kg（dB）=-20.6 dB，相位裕度γC=-36.7°，这也为后续评估系统性能、进行系统校正提供了准确的依据。

显然，对于控制系统的建模仿真、时间响应分析、稳定性分析等等，融入Matlab/Simulink工具，不仅简单清晰，便于理解，而且能够充分的调动学生的学习积极性与自主性，促使学生们熟悉相关软件，真正做到理论与实践相结合，达到事半功倍的效果。

3 总结

本文对基于数学/软件工具的拉氏变换线、频率特性线和Matlab/Simulink线进行了总结及举例说明，从不同角度对机械工程控制基础课程教学内容进行系统化的梳理。这为机械工程控制基础课程的理论及实践教学提供了新的思路和方法，不仅清晰地梳理了本课程的基本内容，使教学系统化、形象化，而且引导学生运用不同的主线学习相关知识，使学生能够更加直观、清晰的理解和掌握课程知识，有利于提高教学质量、增强学生的学习兴趣。