例谈高中数学排列组合解题中的对称思想

宫鸡明

（江苏省常州市金坛第一中学，江苏 常州）

现实生活中许多事物都具有某些对称性，对称给人们以和谐、平衡的美感。数学来源于生活，许多数学问题中涉及的对象都具有对称性，不仅包括数的对称、图形的对称等。对称不仅是一个数学概念，更是一种思想方法。

本文结合具体实例，和大家一起探讨高中数学排列组合问题中怎样发现或挖掘问题中的对称特征，怎样利用对称思想使解题方法简洁明快，以达到拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力。

例1：将4个相同的红球和4个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有_______种。

解析：注意到4个相同的红球没有区别，4个相同的黑球也没有区别，先求出任意排放的排法=70，而其中会出现红球的编号之和与黑球编号之和相等的情况。所有编码之和（1+2+3+4+5+6+7+8）等于36，则红球的编号之和与黑球编号之和都等于18。

根据对称性（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），在 1、2、3、4 中选择2个数为红球编号有=6种，则在5、6、7、8中红球的编号也就确定。

如：1 2 3 4 5 6 7 8

A B A B B A B A若 A 在 1、2、3、4 中选择了 1、3，则利用对称性，在 5、6、7、8中只能选择8、6与之对应；

除了上述情形外，利用对称性红球的编号之和等于黑球编号之和还包括（1、4、6、7）与（2、3、5、8）；

因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样，则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有=31种。

【点评】研究本题根据数列排序的特征，要保证两组数之和始终都等于18，只需左右编号选择对称即可，且大于与小于的情况各占一半。解题时我们必须探究问题的深层次结构及其解法的深层次原理，让方法得到思维策略层面的升华。

变式1：将三个相同的红球和三个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号1，2，…，6.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有多少种？

例2：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22，121，3 443，94 249 等.显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.（*）则：（1）4位回文数有___个；（2）2n+1（n∈N*）位回文数有___个.（**）

解析：（1）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个，故答案为90；

（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；

第二步，分别选左边第 2、3、4、…、n、n+1 个数字，共有 10×10×10×…×10=10n 种选法，故 2n+1（n∈N*）位回文数有 9×10n个，故答案为 9×10n。

【点评】一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，观察它的构成特点，左右对称，利用对称思想解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决。

例 3：由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复的六位数，其中个位数小于十位数的有几个？（用对称思想怎么解？）

解析:在上述的6位数的集合A中，把个位和十位交换，就能得到一个6位数，这个6位数还是在A中，且任意A中两个6位数，进行上面的操作后，得到的6位数仍然两两不同，于是可以知道个位数小于十位数的6位数和个位数大于十位数的6位数个数是一样的，都等于=300个。

【点评】把个位和十位交换，得到的6位数仍然两两不同，利用对称思想确定两者的个数一样。类似A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边有多少种不同的排法。其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的对称的，则其两种情况A在前与B在前情况数目也是相等的。

综上例题解析，当出现了等可能性情况时我们考虑对称法，不只是两个元素，当出现多个元素时也适用。我们发现在排列与组合教学中启发学生用对称思想思考数学问题，带领学生探究问题的深层次结构及其解法的深层次原理，让方法得到思维策略层面的升华，对增强学生解决数学问题的能力、启迪心智大有裨益。