论数形结合思想在初中数学教学中的应用

福建省南平市剑津中学 吴永军

数形结合思想主要包含三个层面，即以数代形思想、以形代数思想、数形结合思想。以形代数思想指学生利用图形形象化地表示数字关系的思想，以数代形思想指学生用数字关系直观地表示图形关系，数形结合思想则为以上两种思想的综合。通过引入数形结合思想，初学数学中的疑难问题能够实现不同形式之间的转化，进而拓宽解题思路，实现问题的最优化解决。因此，在初中数学教学中，教师应当充分结合数形结合思想展开教学活动。接下来，将按照本人教学经验介绍以下几种数形结合思想在初中数学教学中的应用策略。

一、培养数形结合意识，增强数学解题能力

数学学习过程是一个考验学生思维能力与数学意识的过程，拥有一定的数学意识是进行数学学习的必要条件。因此，教师在数学教学过程中首先应当培养学生的数形结合思想意识，让学生在思维上形成一种数形结合思想的认知，进而提升学生数学解题能力。

首先，教师应当锻炼学生的思维活跃力。所谓思维活跃力，就是当学生在对一道题目进行分析时，不仅仅能够按照传统思维分析题目，并且能够转换思路从其他角度或思维解题的能力。例如，在初三总复习上平面直角坐标系一节的教学过程中，在讲解单个参数的点坐标时我通过引入动点的轨迹问题形成函数图像对含单个参数的点进行讲解。通过讲解动点轨迹及函数图像，学生能够从数形结合的角度来理解含参动点问题。

例题：无论m为何值，点A(m，3－2m)不可能在（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

其次，教师应当培养学生对数与形的转换意识。在函数中，题目中给出函数解析式，学生应当根据函数解析式画出函数图像，并根据函数图像分析函数问题。如果学生仅仅从函数解析式入手，那么对问题的理解可能仅仅停留在数字层面而无法深入。

二、学会“以形代数”，将抽象问题具体化

“以形转数”是数形结合思想的第一层应用，对于初中阶段的数学学习来说，该方法的应用能够帮助学生解决很多实际应用问题，对于学生而言，理解题目是答题过程中的第一项任务，而学生在实际的答题过程中很容易遇到抽象化的问题，这些问题不仅不利于学生解答，对于学生的理解而言，更存在一定的困难。

为了提高学生对这种类型题目的解题效率，以形转数的应用是非常重要的，它可以将一部分抽象的问题具体化，先让学生对具体的题目产生直观认识，明确题目要求，然后进行实际的解答。例如，在绝对值的教学过程中，在初次进行教学时，由于学生从未接触过与之相关的内容，可能会出现理解不到位的现象，此时教师就可以通过画数轴的形式让学生明确绝对值的含义。当学生在进行具体题目的解答时，也可以借助画数轴的形式来把抽象的数字变得更加具体，对于正数的绝对值，学生理解起来相对容易，但是对于负数的绝对值而言，很多学生会出现理解失误的现象。比如，学生在判断－3.3绝对值过程中，就可能会出现理解错误的现象，如果学生能够运用以形代数方法，错误就可以得到一定程度的避免。学生可以先画一条数轴，在数轴中间标出原点的位置，在正方向上标明正数，负方向上标明负数，然后根据题目中的要求找到－3.3所在的位置，此时该点到零的距离就是其绝对值。除了绝对值的应用，对于初中数学知识中的很多内容，该思想方法都可以得到有效的利用。

三、学会“以数代形”，将具体问题生动化

“以数代形”是数形结合思想的另一项应用，它主要是指在具体的数学知识学习过程中或者数学题目的解答过程中，通过用数字代替具体图形的形式使具体的问题更加生动化，该方法的应用能够让学生进行精准的计算，提高问题解决的质量和效率。

在具体的教学过程中，为了提高学生对这一思想方法的应用，教师首先要让学生掌握基础的教材知识，只有在此基础上才能通过灵活的变化来解决实际的问题，并且提高学生对于具体解题方式的理解。对于与之相关的数学问题，学生在理解的过程中可能会遇到一些困难和问题，教师要通过耐心的讲解来帮助学生克服这些问题，让他们对于以数代形的应用形成自己的解题思路。例如，在题目“已知△ABC的三边长分别是m2－n2、2mn、m2+n2，其中 m、n 为正整数且 m＞n，求△ABC的面积”的教学过程中，直接根据三角形的图形进行计算的难度非常大。学生在计算的过程中很容易出现问题。此时就可以借助以数代形的方式，在直接计算三角形的面积之前，通过对三边的分析和计算，学生很容易发现其三边长符合勾股定理的逆定理要求，而学生也可以根据勾股定理的逆定理理解，确定三边哪两条边是直角边，在进行面积计算时直接利用两直角边的乘积的一半进行计算即可。以数代形的应用不仅仅体现在完全用代数代替图形进行题目的解答，也体现在通过一定程度的代数辅助图形，促进问题的解决。

四、学会“数形结合”，实现问题解决多样化

“数形结合”思想的教学要求不仅仅是局限在让学生能够进行简单的以数代形和以形代数的应用，更重要的是让学生能够根据不同的题目要求，对图形和代数进行灵活的变化。对于初中阶段的很多难度较大的知识，仅仅通过某一层面的数学思想应用是很难达到。讲解题目的时候，就需要教学生代数与图形进行反复的变换，对题目有更加深入的认识和了解，从而使具体题目的解答更加高效。

为了提高学生对于数形结合思想的综合利用，在教材知识的讲解过程中，教师要通过数形结合的思想来进行具体内容的讲解。在让学生对知识进行理解时，不要完全按照传统的教学方法，这不仅不利于学生的理解，还不利于学生的数学思维拓展。通过数形结合的方式来进行具体知识的教学，既可以让学生掌握教材知识，又能够让学生掌握这一数学思维方式。在对具体题目的教学过程中，不论是否有更加简便的解题方式，如果时间允许，教师都可以通过利用数形结合思想来讲解，让学生对数形结合适合应用于哪一类型的题目，在应用的过程中应该注意哪些问题，代数与图形的具体变化对于题目的解答起到了怎样的促进作用都有进一步的了解。相比于单一的以数代形和以形代数思想，数形结合的综合运用对于学生的基础掌握情况和数学思维的灵活性都提出了更高的要求，在该方法的指导下，学生的解题方式可以多样化。

针对数形结合思想应用的不同层次，教师应该采取不同的具体教学方式，由于学生的基础掌握情况也存在一定的差异，教学方式的灵活性也是非常重要的。为了达到更好的教学效果，教师要立足于学生的基础状况和教材基础知识，通过有意识的引导使学生对于该思想方法的认识更加准确，并逐步提升学生的应用能力。数形结合思想贯穿于整个数学学习过程中，其对于学生学习的重要性更是不言而喻，掌握该方法的应用是学生的必修课。