分类讨论思想在数学解题中的应用探讨

严建平

（福建省龙岩市第二中学，福建 龙岩）

一、分类讨论思想概述

（一）简述分类讨论思想

分类讨论思想就是将较难的题目分为几种情况，最终把每一种情况的结果汇总，得出一个结论。在解高中数学题时，我们通常会遇到这类情形，解答到一定程度，由于概念、含义不同，便没有办法进行统一解答，此时就需要分类讨论。可以将分类讨论思想理解为将一道数学题分为几个领域，分别在每个区域解答后再汇总，这样可以将问题化为较简单的题目。另外，在分类解题时，需要参照分类标准，通过比较数学对象，找出他们的异同点，结合相同点和不同点进行分类。

（二）分类讨论的原则

1.同一性原则

同一性原则强调在进行分类时必须采用统一的分类标准，不能这一步按一个标准进行分类，到下一步再选择一个标准进行分类，导致解题的混乱。比如，在对角进行分类时，按终边所在位置不同划分，可分为象限角和轴线角；按旋转方向不同划分，可分为正角、负角和零角。若选择不同的分类标准，会得到不同的答案。因此，在解题过程中，必须遵循同一性的原则，按照统一的标准进行分类。

2.互斥性原则

在分类时，要保证分类的各个子集之间相互排斥，没有交集，即分类后，某一元素不能既属于这一种情况，又属于另一种情况，这样将不利于解题。例如，把平面几何中的三角形分为普通三角形、等腰三角形、等边三角形就违背了分类的互斥性原则，因为等边三角形是特殊的等腰三角形。

3.层次性原则

有时在解答一道数学题时，在第一次分类之后仍不能顺利解决，此时，就需要在第一次分类的基础上进行第二次分类，当遇到的问题较简单时，可能一次分类便能解决，一旦遇到复杂问题，有时甚至需要进行多次分类，直至问题解决。例如，在解决方程（a-2）x2+3x-9=0的实数根的个数问题时，可以按照以下方式进行：

①当a-2=0时，方程为一元一次方程，其实数根为x=3

②当a-2≠0，方程为一元二次方程，于是

二、分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用

（一）在函数解题中的应用

函数是高中数学学习的重要内容，在解题过程中，方法也具有多样性，而分类讨论思想最为常用。函数中参数值对函数因变量的影响较大，一旦参数值变化，函数的结果也必然会变化。因此，对函数参数值的讨论就显得尤为重要。比如当k取何值时，函数y=（k+3）+4x-5（x≠0）是一次函数。我们可以根据参数值的变化分为以下三种情况：（1）当k+3=0时，该函数y=4x-5为一次函数。（2）当 k+3≠0时，函数 y=4x-2+k为一次函数。（3）当 k=0时，函数y=4x-2为一次函数。通过这样的讨论，可以使学生对问题深入分析，保证解题的准确性。

（二）在概率解题中的应用

高中数学中，概率的相关知识在高考中占有重要的地位，将分类思想运用在此类问题中，可以简化问题，起到事半功倍的效果，不仅可以节省时间，也可以提高解题效率。这部分知识在高考中也是必考的知识之一，解题过程中，可以从问题本身出发，结合具体要求对问题分类，最终获得问题的答案。一方面，先确定问题属于哪种概率类型，结合已知条件将每个数编号。另一方面，对研究对象中变量的可能性进行假设，选择合理的方式解题。

（三）在数列解题中的应用

分类思想在数列中有很多应用，比如数列周期性问题、等比数列求和问题等方面。在形如“设等比数列的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，3，…），求 q 的取值范围”这类问题中，学生通常利用分类讨论思想。在解题过程中，需要将q的取值分为两种情况，分别为q=1和q≠1，经过深入研究，不难得到q的取值范围。

综上所述，在高中数学中，分类是学生必须掌握的一类思想方法，且符合教学规律。在数学课堂上学习相关的思想方法，可以增加师生之间互动的机会，培养师生间的感情，发展学生的思维能力，也有利于学生的成长。本文通过对分类讨论进行探讨，取得了一些成果，但是传统的教学模式以及学生的探究能力差等现象，会对分类讨论教学思想方法产生影响。在今后的教学实践中，教师仍需努力全面研究分类讨论的思想，从而突破学生数量多、学习效果不明显等问题，经过后期的进一步深入研究，使分类讨论思想更好地为高中数学的学习提供方便。