三角域上带形状参数的四次Bézier曲面

严兰兰，樊继秋，马 力



三角域上带形状参数的四次Bézier曲面

严兰兰1，樊继秋1，马 力2

(1. 东华理工大学理学院，江西 南昌 330013；2. 湖北省麻城市第一中学，湖北 麻城 438300)

为了在控制顶点固定的前提下仍然能够调整四次三角域Bézier曲面的形状，基于由可调控制顶点定义可调曲面的思想，从几何直观的角度出发，构造了一组含2个参数的四次双变量基函数，定义了由15个控制顶点确定的三角域曲面片。新曲面不仅具有四次三角域Bézier曲面的特性，而且拥有2个用于调整形状的参数。与现有构造形状可调三角域Bézier曲面的方法相比，从几何而非代数角度出发定义新曲面，引入的参数具有明确的几何作用，并未提升基函数的次数。为了方便应用，给出了曲面片之间的1光滑拼接条件。图例显示了该方法的正确性和有效性。

曲面设计；Bézier曲面；三角域；形状调整

曲线曲面造型是CAD/CAM的核心技术之一，其追求的目标是能够灵活、方便地设计出满足需求的各种形状。Bézier方法是应用较为广泛的曲线曲面表示方法之一，包括Bézier曲线、四边域Bézier曲面、三角域Bézier曲面。虽然Bézier方法具备很多有利于形状设计的优良性质，但当控制顶点给定时，Bézier曲线曲面的形状便被唯一确定，若要调整形状，只能修改控制顶点，重新计算曲线曲面方程。

为了使Bézier曲线可以在控制顶点固定的前提下调整形状，很多文献通过在基函数中引入参数，来赋予Bézier曲线形状调整的能力。由于四边域Bézier曲面是张量积形式的，其与Bézier曲线均以单变量Bernstein多项式作为基函数，因此只要构造出了能对Bézier曲线作改进的基函数，就可以对四边域Bézier曲面作出相应改进。然而三角域Bézier曲面为非张量积形式，其采用双变量Bernstein多项式作为基函数，因此要想对三角域Bézier曲面作改进，必须单独为其构造基函数。

三角域上的曲面造型方法能够有效解决构型复杂、形状和边界不规则产品的几何造型问题，是对散乱数据进行曲面插值的基础。围绕三角域Bézier曲面在形状调整方面的不足，文献[1-2]分别构造了含3个、6个参数的三次双变量多项式基函数，定义了以二次三角域Bézier曲面为特例的曲面；刘植等[3]构造了含3个参数的三次双变量多项式基函数；文献[4-5]分别构造了含1个、2个参数的四次双变量多项式基函数，文 献[3-5]中的曲面都以三次三角域Bézier曲面为特例；文献[6-7]分别构造了含1个、多个参数的次双变量多项式基函数，定义了以任意次三角域Bézier曲面为特例的曲面；邬弘毅和夏成林[8]构造了+1次双变量多项式基函数，定义了以任意次三角域Bézier曲面为特例的含多个形状参数的曲面；吴晓勤和韩旭里[9]在初始三次双变量多项式基函数的基础上递推得到+1次基函数；文献[10-11]在初始四次双变量多项式基函数的基础上递推得到+2次基函数，文 献[9-11]中的曲面都含1个形状参数，并以任意次三角域Bézier曲面为特例；文献[12-14]定义了结构与三次三角域Bézier曲面相同的含3个形状参数的曲面，文献[12-13]定义在三角多项式空间中，文献[14]定义在指数函数和多项式函数的混合空间中。

上述文献均从纯代数角度出发，直接给出含参数的调配函数来定义新曲面，且很少讨论曲面的光滑拼接条件，不利于曲面的应用。鉴于二至四次曲面在工程中应用最广泛，二次、三次曲面在文献中讨论较多，而四次曲面很少单独讨论，本文以四次三角域Bézier曲面为例，给出了从几何直观角度，通过在控制顶点中引入参数来构造形状可调曲面的方法，并给出了曲面的1光滑拼接条件，为其应用提供了理论基础，也为构造其他类型的形状可调曲线曲面提供了可借鉴的思路和方法。

1 曲面构造与性质

本节详细介绍形状可调曲面的构造思路与过程，并分析曲面性质。

1.1 曲面构造方法

传统三角域Bézier曲面具有轮换对称性、凸包性、角点插值性；曲面边界曲线为由边界控制顶点定义的Bézier曲线；曲面在角点处的切平面为由角点和其所在的两条边上与之相邻的控制顶点张成的平面。

其中，控制顶点为

1.2 调配函数及其性质

证明：设

因双变量四次Bernstein基函数线性无关，故

1.3 曲面性质

图1 固定，仅改变所得曲面

图2 固定，仅改变所得曲面

2 曲面拼接

2.1 四次三角域Bézier曲面的拼接

设有2张四次三角域Bézier曲面

2.2 四次三角-Bézier曲面的拼接

由式(6)可知，当

进一步，由式(8)可知，若

3 结束语

图3 连续组合四次三角-Bézier曲面

[1] 陈军. 一类带三个形状参数的三角曲面[J]. 计算机集成制造系统, 2013, 19(11): 2680-2685.

[2] 韩西安, 黄希利. 三角域上带多个形状参数的二次Bézier曲面片[J]. 装甲兵工程学院学报, 2011, 25(1): 99-102.

[3] 刘植, 檀结庆, 陈晓彦. 三角域上带形状参数的三次Bézier曲面[J]. 计算机研究与发展, 2012, 49(1): 152-157.

[4] 曹娟, 汪国昭. 三角域上三次Bernstein-Bézier参数曲面的扩展[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2006, 18(9): 1403-1407.

[5] 于立萍. 三角域上带两个形状参数的Bézier曲面的扩展[J]. 大学数学, 2008, 24(5): 58-62.

[6] CAO J, WANG G Z. An extension of Bernstein-Bézier surface over the triangular domain[J]. Progress in Natural Science, 2007, 17(3): 352-357.

[7] ZHU Y P, HAN X L. Quasi-Bernstein-Bézier polynomials over triangular domain with multiple shape parameters[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 250: 181-192.

[8] 邬弘毅, 夏成林. 带多个形状参数的Bézier曲线与曲面的扩展[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2005, 17(12): 2607-2612.

[9] 吴晓勤, 韩旭里. 带有形状参数的Bézier三角曲面片[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2006, 18(11): 1735-1740.

[10] YAN L L, LIANG J F. An extension of the Bézier model[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(6): 2863-2879.

[11] 严兰兰. 带形状参数的Bernstein-Bézier曲面[J]. 计算机工程与科学, 2014, 36(2): 317-324.

[12] ZHU Y P, HAN X L. New trigonometric basis possessing exponential shape parameters[J]. Journal of Computational Mathematics, 2015, 33(6): 642-684.

[13] HAN X L, ZHU Y P. A practical method for generating trigonometric polynomial surfaces over triangular domains [J]. Mediterranean Journal of Mathematics, 2016, 13(2): 841-855.

[14] ZHU Y P, HAN X L. Curves and surfaces construction based on new basis with exponential functions[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2014, 129(1): 183-203.

Quartic Bézier Surface with Shape Parameters on Triangular Domain

YAN Lanlan1, FAN Jiqiu1, MA Li2

(1. College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China; 2. The First Secondary School in Macheng City Hubei Province, Macheng Hubei 438300, China)

This paper aims at adjusting the shape of the quartic triangular Bézier surface without changing the control points. Based on the idea of defining adjustable surfaces by adjustable control points, starting from a geometric perspective, a set of quartic bivariate basis functions with two parameters are constructed and a new triangular patch determined by fifteen control points is defined. The new surface not only inherits the properties of the quartic triangular Bézier surface, but also possesses two parameters which can be used to adjust its shape. Compared with the existing method of constructing triangular Bézier surface whose shape is adjustable, the method provided here defines the new surface from a geometric rather than an algebraic perspective, hence the introduced parameters have definite geometric effect, and the method here does not increase the degree of the basis functions. For convenient application, the1smooth join condition of the surface is given. The legends show the correctness and validity of the method.

surface design; Bézier surface; triangular domain; shape adjustment

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2018061015

A

2095-302X(2018)06-1015-07

2018-04-16；

2018-05-07

国家自然科学基金项目(11261003，11761008)；江西省自然科学基金项目(20161BAB211028)；江西省教育厅科技项目(GJJ160558)

严兰兰(1982-)，女，湖北浠水人，副教授，博士，硕士生导师。主要研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：yxh821011@aliyun.com