经验改造，弥合教与学的裂缝

□ 江苏省射阳县明达双语小学 孙其强

以平面图形面积计算为例，要想实现对已有经验的顺利改造，要求学生能利用杠杆经验——面积单位来测量原始经验以及构造新经验。充分考虑杠杆经验在整个经验发展体系中的张力，聚焦“教”与“学”的交错点，进行合理改造，才能实现学生对已有经验的顺利改造。

一、改造原始性经验

长方形面积计算公式的推导与面积单位的定义联系紧密，需要我们注重测量经验，用单位面积去丈量矩形。要帮助学生顺利改造原始经验，必须用杠杆概念——小方块表示的单位面积来入手。显然，学生原始经验已经无法满足图形的多样性。如果三角形、平行四边形、梯形等图形的面积无法直接划分成整数份的小正方形，如果用方格图去规划，对学生而言就是一次换汤不换药的操作活动，原始经验并未得到改造。原始经验虽粗浅却意义重大，教师需要帮助学生深入分析来改造原始经验，使学生自发认识到“长方形无法整数切分的情况下如何计算？为什么长乘以宽就可以算出矩形面积？”从而将客观经验改造成理性经验，促成“教”“学”经验的对接。

当学生用目测法准确比较出书本和报纸的面积大小后，让他们再估测几本数学书可以铺满一张人民日报，并提问“数学书铺满报纸说明它们的面积有什么关系”，使学生感知到，单位面积是可以变化的，以数学书大小为面积单位，根据覆盖报纸所需要的本数就可以计算出报纸的面积。铺一铺后，让学生比较教室前后两块黑板的面积；两个面积非常接近，既无法依靠平铺测算，也无法将两块固定黑板叠合在一起进行比较。这一新疑难对“平铺”经验提出了质疑：“刚才已经测量出报纸的大小相当于5本数学书，现在只需要用报纸去分别度量一下两块黑板大小就行！”于是学生领悟到面积单位只是一个测量工具，根据需要可以任意转换。

用数学书铺满报纸的操作活动，直击了面积单位的杠杆本质，有效地帮助学生生成了“利用临时性工具测量报纸和黑板大小”的经验。因此，提升原始经验，就需要根据经验断层的特点，促成经验对接，拓宽学生自悟的空间。

二、改造再认性经验

当学生遇到相似情境时，就会自动联想并迁移原有经验，在与新知磨合的过程中形成再认性经验。再认性经验生成是一个循环往复的过程，正、负迁移都有可能发生，也会有一个曲折调试的过程。教学的关键就是如何激活再认经验，并最大限度发挥它的潜能。

在学习平行四边形面积计算时，用邻边相乘（类比“长×宽”）就是一种再认性经验。如何让停滞在“邻边相乘”歧路的学生顺利沿着割补法的道路走下去呢？如果直接提示引导，生硬跳转到剪切操作活动中，学生难以分辨平行四边形邻边与长方形邻边的异同。

当经验生长出现偏差，可以让学生研究差异，追本溯源，以原始经验来撬动再认经验，疏浚“教”与“学”的渠道。当学生偏执地认为平行四边形面积＝底×邻边时，呈现格子图。学生会将面积认定在一个弹性区间里。绘制格子图的过程不仅让学生认识到矩形和平行四边形的面积差异，也让学生在面积测量的原始经验支点上认清了两者的相同点，即“每行排放单位面积的个数×行数”。接下来，让学生自主利用格子图测试平行四边形面积计算公式。

再认性经验的生成过程总是伴随着对原始经验的质疑和否定，但是我们应该认识到再认性经验对原始经验的冲击与动摇是有着积极意义的，它是再认性经验获得产生和发展赖以依存的土壤，没有对原始经验的怀疑和反思，再认性经验就失去了根基，也失去了对比修正的参照物。仍然以上面平行四边形的面积为例，如果没有对数方格法的反思，如果没有质疑过“为什么数方格的方法用在矩形里成立，到平行四边形里却行不通”，如果没有质疑过“矩形的长宽相乘是否满足方格数的要求”，将平行四边形转化为矩形的做法也就失去了合法性，也无法推翻平行四边形面积等于邻边相乘的谬论。

原始经验的延伸产生错误，在纠错过程中完善经验、再认经验，学生才能主动经历“从肯定到否定、从错到对、从破到立”的思维锻炼，使再认性经验获得实践认证。

三、改造再生性经验

当学生第三次遇到类似情境时，成熟的再认经验即时复现，学生能直接应用，这样的经验称为再生性经验。三角形面积推导经验对梯形面积公式推导就是再生性经验。平行四边形面积公式对三角形面积公式也是再生性经验，但教材采用的是两个相同三角形拼接成一个平行四边形，这与平行四边形转化为长方形的割补经验产生偏离，因此就属于再认性经验。

在推导三角形面积计算公式时，再生性经验也能起作用。无论是什么三角形，特殊还是一般，也能通过复杂的割补法转化成四边形。那么，为何教材弃割补法不用，选择了全等拼合法？就学生认知水平而言，学生能够想到和接受割补等腰三角形的方法，但不等边三角形需要切割中位线，却超出了学生的空间想象力。学生很难想到正确的割补法，即使老师作了说明解释，如果不演示，学生也难以掌握。而全等拼合法，易学易懂，便于操作和推广普及。

再生性经验之所以无法“再生”，是因为很多人没有领悟“再生”精髓。要有机融通“割补法”与“全等拼合法”，由再认经验跃升至再生经验，就必须重新利用再生性经验。不妨给学生出示1个等腰三角形和1个一般三角形。在不告知全等拼合法的前提下，原始经验割补自动复位，学生拿起三角形就开始剪切。一番自主操作后，学生发现等腰三角形容易变形，顺利推导出“三角形面积=底÷2×高”，但一般三角形却非常棘手。一起观察剪开的图形：为什么等腰三角形容易转化？因为它能沿着高线分成2个全等的三角形。怎样变形一般三角形？学生会想到“变出两个完全一样的三角形”“任意两个完全一样的三角形可以拼合成一个平行四边形”，并得到“三角形面积=底×高÷2”。此时，教师只要抓住“底÷2×高”与“底×高÷2”等价，就能让学生从割补法的再认经验跃升到再生经验。

再生性经验与再认性经验不同，再认性经验是通过转化法，在原有的经验方法基础上进行调整改造，可以说是从原有经验上孵化出来的新生命，仍带有原始经验的遗传基因。而再生性经验则是克隆了原始经验的起源性片段，是从顶层设计上进行复制，如通过对“将两个全等三角形拼接成平行四边形然后再还原”的方法移植到梯形面积推导中，这是再生性经验。再生性经验具有潜伏性，一经确认，在以后的使用中会逐渐脱离母本记忆。如每次用到梯形面积时，不会想到它与三角形的面积有什么关系。

学生在再生性经验的基础上，经历一系列探究活动跃升到再认性经验，将三角形面积公式推向一般。教师随即引导学生融汇了割补法和拼合法，两种认知经验交互作用。先运用后延展，立足再生性经验，延伸再认性经验。学生学到的不仅是三角形面积计算公式，更学会了变通应用原始经验。

经验对于学习就像积累对于写作。数学教学要以学生的经验为基准，结合经验错位深入到教学的缺口里，通过改造经验，弥合“教”与“学”的不协调，使教条经验变成有用经验。