匠心独运，探究概率教学中的建模思想

☉山东省东营市垦利区第一中学 林 峰 崔殿青

近年来，随着计算机技术的迅速发展，主要研究随机现象统计规律性的概率论与数理统计在经济、控制等各领域也越来越受到重视.在概率教学中，最重要的是将理论与实际相结合，从而让学生可以学以致用.数学的建模就是用数学方法对实际问题进行分析、处理，以便人们进行决策.本文从四个方面讲述了教师如何应用数学建模思想联系实际，进行概率教学.

一、链接社会热点，理顺各自异同

在传统的概率教学中，教师根据教材上的内容进行理论教学，而因为教材版本与年代严重脱节，其中所描写的案例已经不符合实际生活，导致学生难以理解以及应用.针对这种现象，教师可以将教材中的理论知识与社会热点相结合，建立数学模型，让学生应用概率学对各个案例进行分析对比，理顺各自的异同，从中找出最合理的方案.

例如，在教学高中的一次概率论的基础课时，为了让学生对概率论在实际中的应用有更深的了解，我通过上网查询等手段找到了最新的共享单车话题，并针对共享单车设计了相关的数学模型，帮助学生学习概率论.首先，我问同学们是否了解过共享单车的设计理念，帮助同学们了解生活，并引发课堂兴趣.之后我让同学们思考：某种单车每次租车时间如果超过两个小时，则超过的部分按每小时2元进行收费（如果不足1小时，也按照1小时收费），如果没有超过2小时，则不收费.现在有李启和王立两人都要租车，设李启和王立两人骑行不超，两小时到三小时的概率并且两人骑行不超过四个小时，求两者骑行所花费用相同的概率.之后，我引导学生们针对这个问题进行研究，先分析对李启和王立两人来说，骑行三小时到四小时所各占的概率为多少，再引导他们分析两人骑行相同时间有几个可能的样本事件，每个事件的概率为多少，最后再做∑运算汇总所有样本事件，得到最终结果.

在链接社会热点的教学过程中，教师以低碳生活、运动健身的共享单车热点问题为背景，从同学们的生活实际出发，建立明确的模型，设计了新颖别致的题目，让学生在分析热点模型问题案例的异同的过程中，感受数学的生活化和广泛的应用性，培养学生在生活中应用和创新概率思想的意识.

二、分析周遭事件，找出随机变量

当今世界，社会需要的是创造型、开拓型的人才，而启发式教学在培养创造型人才上有很大效果.教师可以联系生活实际，以人们周遭的事件为数学模型，启发学生在分析的过程中认真观察，联系概率知识发现随机变量，思考并解决问题，培养学生的概率意识.

例如，在教学高中的一次概率论的基础课时，为了让学生对概率论中随机变量的概率分布以及期望计算有更深的了解，我以生活中常见的事件为模型，引导学生进行分析与计算.首先，为了让学生们对随机变量有更好的了解，我建立模型，问学生如果大二学生刘芸想考取英语六级证书，而国家教育部规定一年可以考两次，一旦考试通过，便可领取证书，不再参加之后的考试，否则就一直考，刘芸想在两年内考完，也就是说她只有四次机会，设她每次参加考试及格通过的概率依次为0.6、0.7、0.8、0.9，求在两年内刘芸参加英语六级考试的次数α的分布列与α的期望，并求刘芸在两年内得到六级证书的概率.之后，我引导学生进行思考：第一步，引导学生自主明确随机变量有几种，即随机变量可能取到那些值，在这题中即为1、2、3、4四个值；第二步，我引导学生按照相互独立事件同时发生的概率的求导公式去自主计算随机变量的每个值取到的概率，从而得到分布列，例如第3次才拿到证书这个事件发生概率的计算的公式为［1-P（1）］×［1-P（2）］×P（3）；第三步，我让学生根据分布列求解期望，即按照公式过这个例题，我帮助学生加深了对离散型随机变量的理解，并充分记忆公式.

在教学随机变量的过程中，教师通过联系生活，以我们周遭常见的事件为模型进行教学，不仅提高学生的学习兴趣，帮助学生理解知识，还能在找出随机变量的过程中启发学生的思维，培养学生的创造力，让学生在自主研究的过程中充分理解与记忆知识，养成运用概率思想探索生活的意识.

三、引入复杂案例，鼓励个性理解

概率统计是一种与实际联系密切、应用性很强的学科.针对知识的重难点，教师可以引用一些复杂的案例，并通过与生活中简单的案例相互对比，强化学生对概率统计重点概念的理解，让学生在专业的理论基础上，提出自己独到的个性的理解，既保证了专业性，又具有了创新性.

例如，在教学高中的一次概率论的提高课时，因为学生对插空类型的概率求解例题容易混淆，不知道怎样思考，所以我引入了不相邻问题插空策略的案例模型，帮助学生充分掌握类似题的求解方法.首先，我问学生们：如果一个晚会的节目中有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，并且要求舞蹈节目不能连续出现，那么节目的出场顺序有多少种呢？对这个问题，我引导学生们分为三步进行求解：第一步，我们应该了解到2个相声与3个独唱是可以随便排的，所以他们共有种；第二步，我引导学生将4个舞蹈节目进行插空，前面5个节目包括首尾一共有6个位置，那么有种排法；第三步，我让学生由分步计数原理进行总结，节目一共有种可能的排序方法.之后，我引导学生通过这个例题解决“拍照顺序”问题：有八个学生、三位老师进行拍照，要求老师不能挨着，你如何排序进行拍照.在解决问题的过程中，我引导学生们联系实际，有一个男生思考到为了表示尊重，老师应该在中间进行拍照，那么就只有在中间的三个空位上进行拍照，故而有种可能最为适合.

在引入复杂案例模型进行插空排序教学的过程中，教师通过引入复杂的概率例题，让学生总结到：在解决元素相离问题时应先把没有位置要求的进行排队，再把不相邻的插入中间.在与其他案例进行对比分析的过程中，教师还可以引导学生联系生活实际，对问题产生了自己的个性理解.

四、组织小组讨论，培养发散思维

在之前的教学过程中，经常以定义、性质、例题、反复练习的模式进行教学，这种枯燥的教学方式很难让学生形成发现问题本质的思维过程.针对这个，教师可以创新教学方式，创设教学模型，组织学生小组讨论，让其在互相交流中充分思考，发现事物的本质，提高课堂的高效性.

例如，在教学高中的一次概率论的讨论课时，为了让学生对平均分组概念有充分的理解，而不是死记公式，我引导学生进行分组讨论，鼓励学生提出问题，并进行小组间的专题讨论.首先，我将学生分为六个人一组，然后我让学生们进行思考：如果将6个人平均分为3排，每排2个人，总共有多少种分法.学生们自己在组内进行讨论与实践，六个人分别记为ABCDEF，然后第一步取出AB，第二步取出CD，第三步取出EF，则依次排序下去得相等.我引导学生们自己分组实践操作与理论讨论，让学生们自己在相互交流中发现，平均分成的组无论顺序如何都是一种情况，所以分组后一定要除以n为均分的组数），从而避免重复计数.之后，我又布置了一些例题，让学生进行分组讨论，并且要求他们在讨论的过程中发现这类题的本质与规律，让学生在自主学习，分组讨论解决问题的过程中相互学习，共同进步.

在组织学生进行讨论的教学过程中，教师应该通过创设与实际相关的问题情境，建立数学模型，引导学生开展专题讨论活动，帮助学生相互交流学习，并在交流中发现事物本质的推理过程，对知识有更深的了解.

总的来说，将数学建模思想渗透进概率统计的教学过程中的方法，就是联系生活实际，将社会中的热点问题、周遭的常见事例以模型的方式化为例题，循序渐进，由易到难地引导学生进行创新思考，激发学生兴趣，帮助学生了解时事政治，教师还可以引导学生进行小组讨论，让学生在相互交流，相互学习的过程中理解知识的本质，提高课堂的高效性.J