生活中的圆

文/陈德前

圆已成为中考命题的热点.现以典型题为例，说明圆在生活中的应用及其常用解法.

一、残缺的圆形镜

例1小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配一块同样大小的玻璃镜.工人师傅在一块如图1所示的玻璃镜残片的边沿描出了点A，B，C，画出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）

A.AB，AC边上的中线的交点.

B.AB，AC边上的垂直平分线的交点.

C.AB，AC边上的高所在直线的交点.

D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点.

解：由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆面，

因此，圆心是△ABC三边的垂直平分线的交点.选B．

温馨小提示：三角形的外接圆是唯一确定的，其圆心是三边的垂直平分线的交点．

图1

二、求圆形门的最高点

例2图2是明清影视城的一扇圆弧形门.小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：圆弧形门所在的圆与水平地面相切，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB，CD与水平地面垂直．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离.（）

A.2米. B.2.5米. C.2.4米. D.2.1米.

解：设圆弧形门所在的圆与水平地面的切点为F，连接AC，OF交于点E.

∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD.

∵四边形ABDC是矩形，∴AC∥BD，

∴OE⊥AC，EF=AB.

设⊙O的半径为R.在Rt△AOE中，

∵AE2+OE2=OA2，即0.752+（R-0.25）2=R2，

解得R=1.25，1.25×2=2.5（米）.

选B．

温馨小提示：涉及弦长、半径、弦心距的计算问题，常把半弦长、半径、弦心距集中到同一直角三角形中，利用勾股定理求解．

图2

三、射门点的选择

例3足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射门点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门点越好.如图3的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射门点在（ ）

A.点C.

B.点D或点E.

C.线段DE（异于端点）上一点.

D.线段CD（异于端点）上一点.

解：如图4，连接EB，AD，DB，AC，CB，作过点A，B，D三点的圆，可以确定点E在圆上，点C在圆外，根据圆周角及圆外角的性质可知∠AEB=∠ADB>∠ACB.因此，最好的射门点是线段DE（异于端点）上一点.选C.

温馨小提示：当出现网格时，要充分利用网格的特点，为解题创造条件（如本题中，利用网格的特点判定点E在由A，B，D三点确定的圆上）．

图3

图4

图5

四、求噪声的影响范围

例4 如图5，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假如拖拉机行驶时，周围100m以内会有噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.如果受到影响，已知拖拉机行驶的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少？

解：（1）如图5，过点A作AD⊥MN于点D.

所以学校会受到噪声的影响.

（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A，与MN交于B，C两点，BC为受噪声影响的路段.

∵AD⊥BC，∴BC=2BD=2×60=120（m）.

拖拉机的速度为18km/h，即为5m/s，120÷5=24（s）.

学校受到噪声影响的时间为24s.

温馨小提示：当拖拉机移动到D点时，噪声的影响范围为以D点为圆心，100m为半径的圆的内部区域，而点A在此圆内．读懂题意，建立数学模型是解题的关键．

五、测量锅的直径

例5小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，没有锅的直径长，怎么办？小红想了想，采用了以下的办法：如图6，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两端，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图7），即可求出锅的直径.

（1）请你利用图7说明她这样做的理由；

（2）在现有条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗？如果能，请在图8中画出示意图，并说明理由（不必求出锅的直径）.

解：（1）如图7，设圆心为O，连接OA，OB.

∵MA，MB与⊙O相切，∴∠OAM=∠OBM=90°，

又∵∠M=90°，OA=OB，

∴四边形OAMB是正方形，

∴OA=MA.∴2MA就是锅的直径.

（2）如图9，在锅的边上取三点A，B，C，使AB=AC，

量得AB，AC，BC的长，就能求出锅的直径.

设锅的圆心为O，作直径AD交BC于点E，连接BD，OB.

在Rt△ABE和Rt△OBE中，利用勾股定理求得AE，再求出OB，即能求出锅的直径.

温馨小提示：数学就在我们的身边,要善于运用数学知识解决生活中的实际问题．

图6

图7

图8

图9

六、求输油管道的长

例6图10是输油管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为直线，中心O为点）是（ ）

A.2m. B.3m. C.6m. D.9m.

解：由勾股定理可得斜边为10m.

设内切圆的半径为r，利用面积法可得

三条支路管道的总长为2×3=6（m）.选C.

温馨小提示：解答本题需具有一定的转化能力和数学建模能力，巧用面积法解题．

图10

七、窗户的透光率

例7某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图11所示，圆O的圆心与矩形ABCD的对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域的面积与矩形窗的面积的比值）为______．

分析：透光部分可分解为两个直角三角形与四个45°的扇形，这样可求出透光区域的面积，再求出矩形的面积，相比可得结果．

解：设⊙O与矩形ABCD的另一个切点为M，连接OM，OG，

则M，O，E共线.

由题意得∠MOG=∠EOF=45°，

∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，

图11

温馨小提示：将透光部分的面积分为几个规则图形的面积是解题的关键．