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聚焦圆中角的应用

2018-02-10翟士波

初中生 2018年3期
关键词:小提示圆心角圆周角

文/翟士波

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形的联系比较密切,是中考命题的重点.下面举例说明圆中角的各种应用.

一、求角的大小

1.利用圆心角求圆周角

例1 如图1,△ABC内接于⊙O,且OB⊥OC,则∠A的度数是( )

A.90°. B.50°. C.45°. D.30°.

温馨小提示:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

图1

2.利用圆周角求圆心角

例 2 如图2,点A,B,C在⊙O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( )

A.25°. B.50°. C.60°. D.80°.

解:∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°.

∵AC∥OB,∴∠CAB=∠B=25°,

∴∠BOC=2∠CAB=50°.选B.

温馨小提示:在圆中,常用到圆的半径相等构造等腰三角形解题.

图2

3.利用直径所对的圆周角是直角求角

例 3 如图3,AB是⊙O的直径,点C,D,E在⊙O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为( )

A.100°. B.110°. C.115°. D.120°.

解:连接AC.

∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,

∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°. 选B.

温馨小提示:当有直径时,通常会添加辅助线,利用直径所对的圆周角是直角解题.

图3

4.利用圆内接四边形对角互补求角

例4 如图4,A,B,C是⊙O上的三点,且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A,B,C的另一点,则∠ADC的度数是______.

解:连接OB.

∵四边形OABC是菱形,∴AB=OA=OB=BC,

∴△AOB是等边三角形,即∠AOB=60°,∴∠AOC=120°,

∴∠ABC=∠AOC=120°.

答案为:60°或120°.

温馨小提示:已知圆上的三点,当第四个点的位置不确定时,要画出图形,利用圆的相关定理求解.

图4

5.利用圆心角、圆周角求其他角

例5如图5,AB是⊙O的直径,直线DA与⊙O相切于点A,DO交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=21°,则∠ADC的度数为( )

A.46°. B.47°. C.48°. D.49°.

解:∵OB=OC,∴∠BCO=∠B=21°,

∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°,

∵AB是⊙O的直径,直线DA与⊙O相切于点A,

∴∠OAD=90°,∴∠ADC=90°-∠AOD=90°-42°=48°.

选C.

温馨小提示:出现切线时,通常连接圆心和切点,构造直角三角形求解.

图5

二、求弦长

例 6 如图6,△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6,则BC的长为_____.

解:连接AD.

∵∠ACB=90°,∴AB是⊙O的直径.

∵∠ACB的角平分线交⊙O于D,

∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠DAB=∠DBA=45°,

∵AB是⊙O的直径,∴△ABD是等腰直角三角形,

温馨小提示:求弦长,一般需要构造直角三角形,转化为求直角三角形的边的问题.

图6

三、求弧长

例 7 如图7,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的⊙O交CD于点E,则的长为()

解:连接OE.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3,

∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×70°=40°,

温馨小提示:熟练掌握平行四边形的性质,求出∠DOE的度数是解题的关键.

图7

四、求面积

例8 如图8,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,若则图中阴影部分的面积为( )

A.π+1. B.π+2. C.2π+2. D.4π+1.

解:连接OD,AD.

在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,

∴∠C=45°,∴∠BAC=90°,

∵AB为直径,∴∠ADB=90°,BO=DO=2,

∵OD=OB,∠B=45°,∴∠B=∠BDO=45°,∴∠DOA=∠BOD=90°,

温馨小提示:把阴影部分拆分成扇形DOA和△DOB是解此题的关键.

图8

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