圆锥曲线的性质与推广应用

李雪萌

【摘要】从几何观点来说，圆锥曲线指的是一个平面去截一个二次锥面时得到的交线.它通过直角坐标系，与二次方程是相一致的，因此，圆锥曲线又可以称作二次曲线.它主要包括椭圆、抛物线和双曲线.本文主要对圆锥曲线的定义及主要性质，也就是椭圆、抛物线和双曲线的性质做了简单的概述，由此也对圆锥曲线的推广应用做了总结和说明，同时分析了圆锥曲线在实际生活和解题答题中的应用，以加深人们对圆锥曲线的认识，同时鼓励人们利用所学数学知识来解决实际生活中的问题.

【关键词】圆锥曲线；性质；推广应用

一、圆锥曲线

从几何观点来说，圆锥曲线指的是一个平面去截一个二次锥面时得到的交线.它通过直角坐标系，与二次方程是相一致的，因此，圆锥曲线又可以称作二次曲线.它主要包括椭圆、抛物线和双曲线.

圆锥曲线属于解析几何的内容之一，也是中学学习的重要内容.所以，研究圆锥曲线对于解决数形结合的数学问题和几何问题有重大的意义.

二、圆锥曲线的性质

圆锥曲线主要包括椭圆、抛物线和双曲线.

第一：椭圆.椭圆是指圆锥与平面的截线.在一个平面内，两个定点的距离之和等于常数（常数大于两个定点的距离之和）的动点的轨迹叫作椭圆.它的方程式是x2a2+y2b2=1（a>b>0），其中离心率0

第二：抛物线.在一个平面内，一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.它的方程式是y2=2px，其中离心率e=1.

第三：双曲线.在一个平面内，一个动点和两个定点的距离差的绝对值是一个常数的点的轨迹叫作双曲线.它的方程式是x2a2-y2b2=1，其中离心率e=ca>1.

为了更清晰地展现出三者的性质特征，我们可以通过表格直观地看下：

类型椭圆抛物线双曲线

方程式x2a2+y2b2=1（a>b>0）

y2=2px

x2a2-y2b2=1

范围-a≤x≤a

-b≤x≤b

x≥0

y∈R

x≥a或x≤-a

y∈R

对称性

关于x轴、y轴对轴

关于原点中心对称

关于x轴

关于x轴、y轴对称

关于原点中心对称

頂点（-a，0）（a，0）（0，-b）（0，b）

（0，0）（-a，0）（a，0）

离心率0

e=1e=ca>1

焦点（-c，0）（c，0）c2=a2-b2p2，0

（-c，0）（c，0）c2=a2+b2

渐近线无无y=±bxa

准线x=±a2c

x=-p2

x=±a2c

三、圆锥曲线性质的推广应用

第一：椭圆的应用.

光学特性.光线从椭圆的一个焦点发出，通过椭圆的反射，放射光线交汇于椭圆的另一个焦点上.我们去电影院观看电影时会发现，电影放映机上聚光灯泡的反射镜上面的轴截面是椭圆形的，这正是利用了椭圆的光学特性，计算好灯泡和电影胶片的距离就能获得最强的光线，让观看达到最好的效果.

第二：抛物线的应用.

手电筒.手电筒里的小灯泡后面有一个镜面呈抛物线形状的反光镜.对于抛物线来说，从焦点发出的光，通过抛物面的反射，反射光线会与抛物线的对称轴相平行，这样我们就能够在晚上利用手电筒看清周围的东西.

第三：双曲线的应用

冷却塔.火电厂和核电站里的通风冷却塔的建立是为了节约水资源，从冷却器排出的热水在冷却塔中冷却后被循环利用.大型电厂的冷却塔多是采用双曲线型.双曲线型冷却塔占地面积较小，它的冷却效果不受风力的影响，因此，水量损失小.双曲线型冷却塔关于电能方面的节约也是非常大的.

四、圆锥曲线在解题中的应用

圆锥曲线是中学数学的重要内容，因此，在数学和几何中经常出现有关于圆锥曲线的问题.主要有利用圆锥曲线的性质来求解圆锥曲线的最值、相应直线与圆锥曲线的位置关系来求组成的四边形的最大值和求离心率等这样的问题.

五、总结

圆锥曲线不仅是中学教学中的一个重要内容，而且在我们的日常生活和解题中有着非常普遍又广泛的应用.圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线，想要深入了解圆锥曲线的性质，就必须对椭圆、抛物线和双曲线的相同及不同的性质进行一一了解，最后归纳总结，这样才能全方位地透彻地理解圆锥曲线的内涵与性质，有助于对圆锥曲线的推广，从而才能更好地利用圆锥曲线为人类服务.

【参考文献】

[1]常海波.例谈圆锥曲线的性质在解题中的运用[J].高中数理化，2015（4）：9.

[2]谢高峰，陈红.生活中的椭圆[J].数理天地（高中版），2009（1）：5.