以抛物线为载体的特殊图形

林天国

摘要：在抛物线为背景的前提下，动态探究特殊三角形、平行四边形等存在性试题。

关键词：抛物线；存在性；分类讨论

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-0126

在近几年的各地中考数学试题中，压轴题备受关注，各地中考的压轴题基本上都是动态几何问题，动态问题常与存在性问题结合，二次函数的抛物线上的点的存在性探究的压轴试题是探究性问题中的一类重要题型。在抛物线为背景的前提下，动态探究特殊三角形，平行四边形等存在性试题，其综合性较强，变式多样，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系。本文对近几年全国各地中考数学试题中考查以抛物线为载体的特殊几何图形的存在性，进行分类归纳。

一、等腰三角形的存在性问题

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般要先分类讨论。如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三种情况。

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：（2）讨论△ACM为等腰三角形，若AC为腰，有两种情况：AM=AC，CM=CA；若AC为底，则顶点M在AC的垂直平分线上。

简解：（1）y=-■x2+■x+3

（2）由A（-2，0）、C（0，3），得AC=■。

①如图1，当AM=AC时，M、C关于x轴对称，此时M（0，-3）。

②如图2，当CM=CA=时，OM=+3，或OM=-3。

此时M（0，3+■），或（0，3-■）。

③如图3，当MA=MC时，作MN⊥AC于N，那么■=■，即CM·CO=■CA2。

所以，CM·CO=■×13=■，CM=■×■=■所以OM=3-■=■。此时M（0，■）。

2. 直角三角形的存在性问题

解直角三角形的存在性问题，一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程。有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。

如图，抛物线y=-x2+4x-3与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点D，在抛物线上是否存在一点P，使△BDP得是直角三角形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由y=-x2+4x-3=-（x-1）（x-3），得D（0，-3）、A（1，0）、B（3，0）.

所以OB=OD=3，BD与坐标轴的夹角为45°.设点P的坐标为（x，-x2+4x-3）.△BDP是直角三角形分三种情况讨论：

①如图1，当∠PBD=90°时，∠PBO=45°，所以PH=BH

解方程-x2+4x-3=3-x，得x=2或x=3（与B重合，舍去）.此时P（2，1）

②如图2，当∠PDB=90°时，∠PDM=45°，所以PM=DM

解方程x=-3-（-x2+4x-3），得x=5或x=0（与D重合，舍去）.此时P（5，-8）

③如图3，当∠BPD=90°时，△PEB∽△DFP，所以■=■.

解方程■=■，整理，得x2-5x+5=0.解得x=■

此时P（■，-■）或（■，-■）

圖1 图2 图3

3. 平行四边形的存在性问题

解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算。难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快。

已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1）与抛物线y=■x2交于B、C两点。

（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

（上接第126页）

分析：（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；

（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的平行四边形，

则DM=OF，设M（x，-■x+1），则D（x，■x2），表示出DM，

分类讨论列方程求解。

简解（1）y=-■x+1

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF

设M（x1，-■x+1），则D（x1，■x12）因为MD∥y轴，所以MD=-■x+1-■x12，由MD=OF，可得-■x+1-■x12=1，①当-■x+1-■x12-1时，解得x1=0（舍）或x1=-3，所以M（-3，■）（如图1）

②当时-■x+1-■x12，解得x1=■，

所以M（■，■）或M（■，■）（如图2）

综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（-3，■）或（■，■）或（■，■）

以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点。解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破。

（作者单位：福建省莆田青璜中学 351111）endprint