关于区分命题的条件和结论的调查及思考*

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(宁波大学附属学校,浙江 宁波 315033)

1 背景介绍

学生学习的数学命题一般由条件和结论两部分组成.《义务教育数学课程标准(2011年版)》对区分命题的条件和结论的教学要求是“结合具体实例，会区分命题的条件和结论”[1].事实上，学生区分命题条件和结论不是一件容易的事，特别是对区分含有多个几何条件的约略命题的条件和结论更有困难.为了解教师对命题条件和结论的理解情况，笔者借助教师培训活动对48位教师进行了有目的的调查.

2 调查方法

首先，笔者用多媒体呈现下列问题及教学参考书提供的答案.

问题1 命题“三角形的两边之和大于第三边”的条件和结论分别是什么？

教学参考书提供的答案是：条件是“三角形的两条边之和”；结论是“大于第三边”[2].

问题2 命题“三角形3个内角的和等于180°”的条件和结论分别是什么？

教学参考书提供的答案是：条件是“3个角是一个三角形的内角”；结论是“这3个角的和等于180°”[2].

其次，笔者要求教师用书面的方式独立回答下列问题：

1)对于问题1，教学参考书提供的答案正确吗？如果不正确，应该怎样修改？

2)上述两个命题的结构完全相同，为何问题1教学参考书是从数量关系的角度来表述命题的条件，而问题2教学参考书是从位置关系的角度来表述命题的条件？

3)对含有多个几何条件的约略命题是否可用数量关系和位置关系这两种形式来表述命题的条件？如果你认为可以的话，请举例说明.

3 调查结果及分析

3.1 调查结果

对于问题1)，统计结果是：有16人表示教学参考书提供的答案是正确的；有18人表示教学参考书提供的答案不够具体，应改为：条件是“一条线段是三角形两条边之和”，结论是“这条线段大于三角形的第三边(线段)”；有14人没有具体的态度.对于问题2)，统计结果是：所有被调查的教师没有作出正确的回答.对于问题3)，统计结果是：有38人认为可以用数量关系和位置关系来表述命题的条件，但举例说明的只有2人，例如，问题1中的条件可以是“两条线段是三角形的两条边”，结论可以是“这两条线段(边)的和大于三角形的第三边(线段)”；有10人表示不明确.

3.2 原因分析

事实上，问题1中教学参考书提供的答案是约略的说法，显然不规范.因为命题的条件和结论应该是有判断的陈述句，但这里的条件不是有判断的陈述句，结论的判断也不完整，不知道什么大于第三边.之所以部分教师不能正确地回答问题1)，是因为教师不明确这部分命题的条件和结论的基本要求.事实上，教学参考书对问题1和问题2只提供一种答案是不完整的.例如，问题2还有一种答案是：条件是“一个角的度数是三角形3个内角的和”，结论是“这个角的度数等于180°”.之所以部分教师不能正确地回答问题2)，是因为这部分教师往往把教学参考书提供的答案作为标准答案，而自己对这类问题缺乏深入的思考.事实上，对含有多个几何条件的约略命题可用位置关系和数量关系这两种形式来表述命题的条件.之所以部分教师不能正确地回答问题3)，是因为这部分教师缺乏对这类问题的研究，不敢提出与教学参考书不同的表述形式.

4 结论及建议

4.1 结论

尽管在浙教版《数学》八年级上册第1.2节“定义与命题”中有这样的陈述：判断某一件事情的句子叫做命题，在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论.但对48位教师的调查结果可以估计教师对命题条件和结论的理解存在偏差的现象具有普遍性，特别是不明确对含有多个几何条件的约略命题可用数量关系和位置关系这两种形式来表述命题的条件.

4.2 建议

1)教材应显化命题的条件和结论的基本要求——命题的条件应该是有判断的陈述句(命题的子命题)，命题的结论也应该是有判断的陈述句(命题的子命题).这样就不会出现上述教学参考书中提供的不完整的说法.

2)教学参考书应提供完整的答案.教学参考书在区分含有多个几何条件的约略命题的条件和结论时，只提供了通俗说法，应提供完整的答案，以帮助教师明确可用位置关系和数量关系这两种形式来表述命题的条件.例如，区分下列命题的条件和结论都有两种答案.

例1说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件和结论.

答案1条件是“一个三角形是等腰三角形”；结论是“这个三角形的两个底角相等”.

答案2条件是“两个角是等腰三角形的底角”；结论是“这两个角相等”.

例2说出命题“等角的余角相等”的条件和结论.

答案1条件是“两个角相等”；结论是“这两个角的余角相等”.

答案2条件是“两个角是等角的余角”；结论是“这两个角相等”.

例3说出命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的条件和结论.

答案1条件是“一个点在线段的垂直平分线上”；结论是“这个点到线段两端的距离相等”.

答案2条件是“两条线段的长度分别是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离”；结论是“这两条线段相等”.

3)教材要修改不正确的表述.例如，浙教版《数学》八年级上册第2.5节中例1的表述需要修改.例1是说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.事实上，这个命题有以下两个逆命题：

逆命题1 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.

逆命题2如果两条线段相等，那么这两条线段的长度是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离.

显然，逆命题1是真命题，而逆命题2是假命题.因此，教材的这个例题应修改成：请说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题.这样涉及了两种情况并且两种情况都能证明(或举反例说明).在此基础上，把真命题凸显出来——作为定理使用，这样显得更顺理成章.

总之，区分命题的条件和结论，教材应给出具体的标准，以避免教师混淆.否则教师都感到困惑，学生就达不到“结合具体实例，会区分命题的条件和结论”的要求.