不等式恒成立问题三种解法探讨

东莞市东华高级中学(523128) 王自强

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:

1.直接化为最值+分类讨论 直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的同性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准;

2.分离参数+函数最值 分类参数的优势在于所得函数不含参数,缺点在于函数结构复杂,一般是函数的积与商,因为结构复杂,导函数可能也是超越函数,则需要多次求导,也有可能不存在最值,故需要求极限,会用到洛必达法则求极限;

3.缩小范围+证明不等式 缩小参数范围优点是函数结构简单,分类范围较小,分类情况较少,难点在于寻找特殊值,并且这种解法并不流行,容易被误判.

例题 (2016全国新课标II文科第20题)己知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)＞0,求a的取值范围.解法一 (直接法)由于

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)＞0在x∈(1,+∞)上恒成立,则

(1)当a≤ 2时,则f′(x)＞ 0,故f(x)在x∈ (1,+∞)上为增函数,则有f(x)＞f(1)=0,故f(x)=(x+1)lnxa(x-1)＞0在x∈(1,+∞)上恒成立,符合题意;

(2) 当 a ＞ 2时,则 f′(1) ＜ 0,且 f′(ea) ＞ 0,故f′(x)=0在x∈(1,+∞)有唯一实根x0,则f(x)在(1,x0)为减函数,又f(1)=0,则x∈(1,x0),f(x)＜ f(1)=0,不符合题意.综上所述,a≤2.

解法二 (分离参数法)由于

故实数a的取值范围为a≤2.

解法三 (缩小范围)由于

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)＞0

在x∈(1,+∞)上恒成立且f(1)=0,则存在m ＞1,使得f(x)在x∈(1,m)上为增函数.这等价于f′(x)=对x∈(1,m)恒成立.

令x=1,f′(1)≥ 0得a≤2.当a≤2时,

点评 当端点刚好适合题意时,则分离参数法可能会用到洛必达法则,缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围.

牛刀小试 已知函数f(x)=ex(ax+b)-exlnx.

(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,且b=1,求a;

(2)若b=-a,且函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.

答案 (1)a=0;(2)a≥1.