圆来如此—魅力阿波罗尼圆

甘肃省秦安县第二中学(741600) 罗文军

平面内到两定点的距离之比为常数λ(λ/=1)的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗尼圆.阿波罗尼是古希腊数学家,阿波罗尼与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼对圆锥曲线有深刻而系统的研究,他的代表作有《圆锥曲线》一书,其研究成果之一为阿波罗尼圆.在近十年的高考中,以阿波罗尼圆为背景的高考数学试题多达13道,可以说阿波罗尼圆与高考有不解之缘.

以下先来探究阿波罗尼圆的一般方程:

题目 (阿波罗尼圆)已知点M(x,y)与两个定点A,B距离比是一个正数λ(λ＞0且λ/=1),求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

解析 设AB的长为2a,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,则A(-a,0),B(a,0),由,整理得,(1-λ2)x2+(1- λ2)y2+2a(1+ λ2)x+a2(1- λ2)=0,当λ＞0且λ/=1时,配方整理得,

典型例题

例1(2014年湖北文科第17题)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b/=-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则

(1)b=; (2)λ=.

解析 设点M(x,y),由|MB|=λ|MA|得,

整理得

(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0,因为对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,所以

点评 本题以阿波罗尼圆为背景,考查了求曲线轨迹方程的思想方法.

图1

解析 因为AB=2(定长),以AB所在直线为x轴,线段AB垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由AC=BC,可得

化简得(x-3)2+y2=8,即C在以(3,0)为圆心,2为半径的圆上运动.于是,

评注 本题是一道解三角形试题,一般的思路是利用余项定理,再利用面积公式,最后转化成求最值问题.本解法建系后,化归为阿波罗尼圆问题,令人耳目一新.

例3(2000年四川理科第6题)已知两定点A(-2,0),B(1,0)如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A. π B.4π C.8π D.9π

评注 本题主要考查阿波罗尼圆的求轨迹问题,也考查了圆的面积公式.

例4(2013年江苏高考第17题)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

图2

解析 (1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.

设过点A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意,得故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为化简得x2+(y+1)2=4.所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即整理得,-8≤5a2-12a≤0,由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由所以点C的横坐标a的取值范围为

评注 本题第(2)问以阿波罗尼圆为背景,考查圆与圆的位置关系,也考查了等价转化能力.

阿波罗尼圆在近十年高考中,出了十几道题,常考常新,阿波罗尼圆的魅力,体现得淋漓尽致,试题的设计以数学历史上的名题为基础,显示出数学文化在选拔性考试中独特的“点石成金”的作用.在教材中也有阿波罗尼圆的习题.

习题 (新课标人教A版习题4.1B组第3题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0),距离之比为,求点M的轨迹方程.

由此我们可以看出,虽然高考很神圣,高考试题很神秘,但掀开这层面纱不难发现,它不那么神奇,事实上上述高考题源于教材中的例题和习题,在平时的教学或学习中,我们应该注重挖掘,了解一些题目及结论产生的背景和应用,体会其中所蕴含的数学思想方法.

练习1(2008年四川卷理科第12题)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴相交于点K,点A在C上且|AK|=2|AF|,则△AFK的面积为()

A.4 B.8 C.16 D.32

图3

解析 y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,K(-2,0).设化简得:y2=-x2+12x-4,与y2=8x联立求解,解得:x=2,y=±4.

故选B.

练习2已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r＞0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.

评注 本题以阿波罗尼圆为背景,考查圆与圆的位置关系.

练习3(2015年湖北理科第14题)如图4,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

(1)圆C的标准方程为.

(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:

其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).

图4

解析 设M坐标为(x,y),圆C:(x-1)2+(y-2=2.则A

故(1),(2),(3)皆成立.

评注 由上述解法不难发现,圆O上任一点P都满也就是说到两定点距离之比为定值λ(λ＞0且λ/=1)的轨迹为一圆,即本题以阿波罗尼圆为背景,考查曲线的轨迹问题.

练习4 如图5,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.若动点P满足点Q在圆C上运动,求|PQ|的最大值.

图5

评注 本题以“阿波罗尼斯圆”为背景,直接考查曲线的轨迹问题.

练习5 已知圆O:x2+y2=1与y轴正半轴交点为A,是否存在一定点B,使得圆O上任一点P,都有成立?若存在,求出B的坐标;若不存在,请说明理由.

解得x0=0,y0=1+2,故存在定点B(0,1+2)满足条件.

评注 本题以阿波罗尼圆为背景,考查定点定值问题.一般地,对于一个确定的阿波罗尼圆,已知其中一定点,可唯一确定另一定点.

练习6 如图6,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.圆O:x2+y2=1与y轴正半轴交于点D,P为圆O:x2+y2=1上任意一点,求证:PD始终平分∠APB.

图6

由D(0,1),平分线定理知PD始终平分∠APB.

评注 本题以阿波罗尼圆为背景,考查特殊的位置关系.一般地,以A、B为基点的阿波罗尼圆中,设圆与线段AB交于D,连结PD,则PD始终平分∠APB.