反证法在大学数学中的应用

杨国英　皇甫玉高

【摘 要】反证法是间接证明的一种重要方法，本文结合数学分析这门课程，归纳了几种可以用反证法证明的命题类型。

【关键词】反证法；类型；命题；证明

1 反证法是什么

反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。

一般来讲，反证法常用证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题的解决就变得相对容易。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛顿，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是 “否定之否定”。如果结论的情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立。

2 适合用反证法的命题

2.1 正面证明有困难的命题

例.设α是有理数，x是无理数，证明：a+x是无理数.

反证：假设a+x是有理数，根据有理数对四则运算的封闭性知，（a+x）-a=x是有理数， 与题意矛盾. 故假设不成立， 原命题成立.

2.2 有关唯一性的命题

例2.若数列{an}收敛， 则它的极限唯一.

证明：设a，b都是an的极限.且a≠b.由极限的定义，对任意的ε>0，存在N，当n>N时，有|an-a|<ε，|an-b|<ε。则

0≤|a-b|=|a-an+an-b|≤|a-an|+|an-b|<2ε

由ε的任意性得a=b，从而得矛盾。

2.3 有关至多…， 至少… ，不可能…等的命题.

例3.（1）方程x3-3x+c在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根.（2）方程xn+px+q当n为偶数时至多有两个不同的实根.

证明：（1）设f（x）=x3-3x+c，若方程x3-3x+c在区间[0，1]内有两个不同的实根记为x1，x2。不妨设x1

2.4 有关””或恒…的命题

例4.[1]假设f在区间I上连续，对任意的有理数r∈I有f（r）=0则在I上f（x）=0.证明：若结论不成立，即至少存在一点x0∈I，满足f（x0）≠0。由条件知f在x0点连续，即满足 f（x ）=0≠f（x ）。现取一列有理数点列{xn}且 xn=x0，由归结原则 f（xn）=0≠f（x0）这与f在x0点连续矛盾。

2.5 有关否定性的命题

例5[2]若f在有限区间（a，b）上可导但无界，证明：其导函数f'（x）在区间（a，b）上无界。证明：若f'（x）在区间（a，b）上有界，不妨设|f'（w）|≤M。固定c∈（a，b），对任意的x∈（a，b），则f（x）在[x，c]上满足罗尔中值定理的条件，从而有至少存在ξ∈（x，c）使得f（x）-f（c）=f'（ξ）（c-x），由此得|f（x）|≤|f（c）|+|f'（ξ）（c-x）|≤|f（c）|+|M（b-a）|。

既得f（x）在區间（a，b）上有界，这与题设矛盾。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沐定夷，谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引[M].北京：高等教育出版社，2012.