还原基本结构重塑题目原型

陈心红

几何学是研究现实世界中物体的形状，大小和位置关系的一门学科，立体几何研究的空间是现实空间，认识空间图形，可培养学生的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力，

本文的思想灵感来源于苏教版数学2必修书本第71页第20题，该题从“补”的角度，将空间图形还原成基本结构来研究和处理问题，让读者从中体会到，抓住基本结构是解决立体几何问题的关键，从而可以使问题的解决得以优化，现将该题呈现如下，

题目1设P，A，B，C是球O上的四个点，P，PB，PC两两垂直，且PA= PB= PC =1，求球的体积和表面积，

分析很多学生读完此题后无从下笔，主要是如何把符合题意的图形画出来呢？PA，PB，PC两两垂直这个条件怎么用？球心在哪？长度怎么用？半径怎么求？越想思路越乱，头脑一片空白，

此题难点是学生没有将题意给出的关键条件——三条线PAPB，PC两两垂直进行深入分析，且没有从PA=PB=PC=1的这个条件，发现更为重要的隐含信息，更为关键是没有想到立体几何的基本结构——正方体，及其正方体的性质，即没有把长度相等、两两垂直且有公共点的三条线段构成的几何体还原成立体几何的基本结构——正方体，以至于图形画不出、题目条件不会用，

思路P，A，B C四点构成的以P为顶点，长度相等，两两垂直的几何体刚好含在棱长为1的正方体中，它们有共同的外接球0（如图1）.而外接球0的直径2r刚好为正方体棱长的√3倍，故2r=√3，r=√3/2，从而易得球的体积和表面积，

总结部分学生在遇到类似的抽象题目时，头脑不够清晰，思路不够发散，局限于题目本身，总想试图从题目中获取直接的线索，当题目条件抽象和线索不明时，要多读几遍题目，培养一个求解类似题目的习惯：把复杂的问题简单化考虑，将抽象的题意还原成它的最基本的结构，重塑题目原型，所谓的复杂抽象的题目便可迎刃而解，

题目1变式棱长为a的正四面体ABC的四个顶点均在一个球面上，求球的半径R.

分析此题初看具有一定的难度，题干短小精悍，解题线索少且较为抽象，一时无法下手，更重要的是，该题对学生的空间想象能力要求较高，需要具备较为扎实的空间几何的基础知识储备，难点在于根据题意的描述，很难快速和准确地将图形画出来，以至于无法继续解题，一方面很多学生不知道球心在哪、怎么画，另一方面有的学生知道球心的位置，但不会求解，课堂现场教学中，很少有学生能够计算出正确答案，而本题考查知识点较多，解题中用到数学方法具备典型性，为此将该题的解题思路呈现如下，希望学生读者能够总结反思.

该思路的运算量较大，对学生的空间想象能力要求较高，外接球的球心假设非常关键，如果不能对此作适当假设，并不能将重心和球心很好的衔接，该题也不宜解出，该思路需要运用的知识点也较多，用到直角三角形性质、正四面体性质、重心及球心特性等，虽然最后得到答案，但费时费力，实际中操作性较差.

思路2如果此时学生能够换一种思考方式，发散数学思维，去伪存真，题目便露出原型，因正四面体的外接球难以作图，而想到把正四面体还原成基本结构——正方体，利用正四面体与正方体有共同的外接球的特性，便可巧妙将图形画出来（如图3）.该图一经作出，学生便恍然大悟，纷纷树起了大拇指，因正四面体ABCD的棱长为a，所以正方体的棱长为√2/2a，将正方体外接球的直径设为2R，利用正方体外接球的性质，其直径为其棱长的压倍，从而直径2R=√3×√2/2，易得R=√6/4a.

这样的解答过程，不仅运算量大大减少，出现计算错误的概率也大大减少，而且节省了大量的时间，化繁为简，出其不意.

思路2使学生深刻体会到在研究立体几何时，往往把不好处理的几何体通过转化还原成基本结构——长方体、正方体、正四面体、球、正三角形等基础图形来解决问题，不仅可以使问题得以解决，而且还可以优化解法，同样，我们在遇见其他类似的平面几何、解析几何、概率及复杂的函数等问题时候，要能够及时变换思路，尝试去探索你认为最不可能的简单结构，将题目分解成一个个微小部分，创新解题方法.

在日常教学中，教师要注重将基本知识点融会贯通，类似的案例要重点突出，培养学生善于将复杂题目简单化，通过变换为常见的基礎概念，还原基本机构，优化解题思路，从整体下手，逐个分解，直至化繁为简.

参考文献

[1]单壿主编.普通高中课程标准实验教科书（数学2必修）[M].南京：江苏教育出版社， 2012endprint