用勾股定理探索几何图形面积的关系

苏燕玉

华师大版八年级上教科书第十四章P108-109，利用图1和图2探索引出勾股定理，过程如下：

图1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形：

很显然，两个小正方形P，Q的面积之和等于大正方形R的面积，即AC²+BC²= AB²，这说明，在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方，

观察图2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：

正方形P的面积=9平方厘米；正方形Q的面积=16平方厘米，

正方形R的面积= 25平方厘米，

我们发现，正方形P，Q，R的面积之间的关系是P+Q=R.

由此，我们得出图中Rt△ABC的三边的长度之间存在关系BC²+AC²= AB²，即对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²= C²，这种关系我们称为勾股定理，

因此在任意Rt△ABC中，若AB为斜边，P，Q，R分别是以BC，AC，AB为边长的三个正方形的面积，根据勾股定理，得BC²+ AC²= AB²，推出P+Q=R，即以直角三角形的三边为边长作三个正方形，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，

思考是不是只有正方形，面积之间才存在这种关系？

探索1若把上述三个正方形换成三个圆，这个

结论以直角三角形的三边为直径作三个圆，两个小圆的面积和等于大圆的面积，

探索2若把上述三个正方形换成三个半圆，这个结论是否成立？

结论以直角三角形的三邊为直径作三个半圆，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积， 探索3若把上述三个正方形换成三个任意三角形，这个结论是否成立？

如图5，显而易见，这个结论不成立，

探索4若把上述三个正方形换成三个任意等腰三角形，这个结论是否成立？

如图6，显而易见，这个结论不成立，

探索5若把上述三个正方形换成三个等腰直角三角形，这个结论是否成立？

结论以直角三角形的三边为斜边作三个等腰直角三角形，两个小等腰直角三角形的面积和等于大等腰直角三角形的面积，

思考把三个正方形换成三个等腰直角三角形，结论成立，而所有的等腰直角三角形都相似，若把任意三角形换成相似三角形，结论是否成立？ 探索6若把上述三个正方形换成三个相似三角形，这个结论是否成立？

另解根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即P：Q：R=a²：b²：C²，因此根据勾股定理有a²+b²=C²，所以P+Q=R.

结论以直角三角形的三边为对应边向外作三个相似三角形，两个小三角形的面积和等于大三角形的面积.

思考既然把三个正方形换成三个相似三角形结论成立，那么如果把三个正方形换成三个相似四边形，结论是否依然成立？

探索7若把上述三个正方形换成三个相似四边形，这个结论是否成立？

分析若设直角三角形三边长分别为a，b，c，其中c为斜边，分别以直角三角形三边为对应边向外作三个相似四边形，面积分别为P，Q，R，根据相似多边形的性质：相似多边形面积比等于相似比的平方，即P：Q：R =a²：b²：C²，又a²+b²=C²，则P+Q=R.

结论以直角三角形的三边为对应边向外作三个相似四边形，两个小四边形的面积和等于大四边形的面积，同理，把三个正方形换成三个相似多边形，结论依然成立，如图9～14.

因为任意正方形、圆（或半圆）和等腰直角三角形也都是相似图形，因此得出结论：以直角三角形的三边为对应边向外作三个相似图形，两个小相似图形的面积和等于大相似图形的面积.endprint