浅谈平面向量常见问题的几种解析方法

金戈

在数学学习过程中，学生对知识点的掌握并不難，难在如何用所学知识解决问题.这往往是由于没有理解知识背后所蕴含的思维方法.下面以平面向量的运算为例剖析解题中应遵循的解决方法.

一、向量的合并

例1 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP=1312OA+12OB+2OC，则点P一定为三角形ABC的（ ）.

A.AB边中线的中点

B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心

D.AB边的中点

解析 设AB的中点为M，则12OA+12OB=OM，∴OP=13（OM+2OC）=13OM+23OC，即3OP=OM+2OC，也就是MP=2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点.答案选B.

点评 这题是向量线性运算，解题时优先考虑合并，那是因为合并直奔主题达到简洁美.针对此题最简单合并自然先运算12OA+12OB.运算后，发现没办法继续合并，但都是以O为向量起点，又左边系数为3，右边系数和为3，于是考虑能否进行拆分，本题得以顺利解决.

二、向量的拆分

例2 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM=AB+3AC，则△ABM与△ABC的面积比为（ ）.

A.15

B.25

C.35

D.45

解析 设AB的中点为D，由5AM=AB+3AC，得3AM-3AC=2AD-2AM，即3CM=2MD.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD=35CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为35，选C.

点评 本题依旧是向量线性运算，优先考虑合并，显然不行.于是考虑迂回拆分转化，而拆分的目的是为了能更好合并，注意到左右两边向量均以A为起点，系数相差了1，取AB的中点显然就能达到系数平衡，转化为例1.

三、小试牛刀

例3 已知平面上一定点C（2，0）和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC+12PQ·PC-12PQ=0.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若EF为圆N：x2+（y-1）2=1的任一条直径，求PE·PF的最值.

解 （1）设P（x，y），则Q（8，y）.由PC+12PQ·PC-12PQ=0，得|PC|2-14|PQ|2=0，即（x-2）2+y2-14（x-8）2=0，化简得x216+y212=1.

所以点P在椭圆上，其方程为x216+y212=1.

（2）因PE·PF=（NE-NP）·（NF-NP）=（-NF-NP）·（NF-NP）=（-NP）2-NF2=NP2-1，P是椭圆x216+y212=1上的任一点，设P（x0，y0），

则有x2016+y2012=1，即x20=16-4y203，又N（0，1），

所以NP2=x20+（y0-1）2=-13y20-2y0+17=-13（y0+3）2+20.

因y0∈[-23，23]，所以当y0=-3时，NP2取得最大值20，故PE·PF的最大值为19；

当y0=23时，NP2取得最小值为13-43（此时x0=0），故PE·PF的最小值为12-43.

点评 解决本题有两个关键点分别为：为什么想到拆分？为什么想到拆成以N为起点的向量？不是一开始就考虑到拆分的，其应遵循的思维方式和上面一样，从而顺利解决问题.

四、总 结

纵观以上解题过程，我们不难发现解题中除了运用知识以外，还需遵循某一思考原则，因此，教学中除了关注知识教学以外，更需通过知识讲解，习题训练，揭示、渗透更深层次的思维方式，只有这样才能教会学生如何思考，才会使学生既见树木又见森林，掌握规律、方法.反过来，有了思维方式的指引，学生在解题中才会练得轻松、生动、有趣，有效避免了简单、机械训练，摆脱题海战术.通过讲练，实现了以知识为载体，培养了学生能力，提高了学生核心素养，这也是教学最高境界、本源目的——授人以渔而不是授人以鱼.endprint