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一道复赛题的简证

2018-02-03舒万畅

数学学习与研究 2018年1期
关键词:复赛共线证法

舒万畅

2013年北京市中学生数学竞赛复赛高一试题:

在△ABC中,已知∠BAC=40°,∠ABC=60°,D,E分别为边AC,AB上的点,且使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F为BD与CE的交点,连接AF,证明:AF⊥BC.

证法一 延长AF交BC于G,如图所示,设∠BAF=α,∠CAF=β,由锡瓦定理角元形式:sinβsinα·sin∠ABDsin∠DBC·sin∠BCEsin∠ACE=1,

即sinβsinα·sin20°sin40°·sin70°sin10°=1

sin(40°-α)=2sinα·sin10°

ctgα=2sin10°+cos40°sin40°=cos80°+cos80°+cos40°sin40°=

cos80°+cos20°sin40°=2cos50°cos30°sin40°=3.

故α=30°,因此,AF⊥BC.

證法二 作CH⊥AB,BI⊥AC,如图所示,由锡瓦定理角元形式:

sinβsinα·sin20°sin40°·sin70°sin10°=1sinβsinα=sin40°sin20°·sin10°sin70°=2sin20°·cos20°·sin10°sin20°·cos20°=2sin10°,

而sinβsinα·sin∠ABIsin∠IBC·sin∠BCHsin∠ACH=sinβsinα·sin50°sin10°·sin30°sin50°=2sin10°·sin30°sin10°=1.

因此,AG,BI,CH共线,故AF⊥BC.endprint

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