一道复赛题的简证

舒万畅

2013年北京市中学生数学竞赛复赛高一试题：

在△ABC中，已知∠BAC=40°，∠ABC=60°，D，E分别为边AC，AB上的点，且使得∠CBD=40°，∠BCE=70°，F为BD与CE的交点，连接AF，证明：AF⊥BC.

证法一 延长AF交BC于G，如图所示，设∠BAF=α，∠CAF=β，由锡瓦定理角元形式：sinβsinα·sin∠ABDsin∠DBC·sin∠BCEsin∠ACE=1，

即sinβsinα·sin20°sin40°·sin70°sin10°=1

sin（40°-α）=2sinα·sin10°

ctgα=2sin10°+cos40°sin40°=cos80°+cos80°+cos40°sin40°=

cos80°+cos20°sin40°=2cos50°cos30°sin40°=3.

故α=30°，因此，AF⊥BC.

證法二 作CH⊥AB，BI⊥AC，如图所示，由锡瓦定理角元形式：

sinβsinα·sin20°sin40°·sin70°sin10°=1sinβsinα=sin40°sin20°·sin10°sin70°=2sin20°·cos20°·sin10°sin20°·cos20°=2sin10°，

而sinβsinα·sin∠ABIsin∠IBC·sin∠BCHsin∠ACH=sinβsinα·sin50°sin10°·sin30°sin50°=2sin10°·sin30°sin10°=1.

因此，AG，BI，CH共线，故AF⊥BC.endprint