感悟数学思想

梁艳薇

【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“双基”拓展为“四基”.“四基”之一“数学的基本思想”是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓.本文结合教学实践，谈谈如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想.

【关键词】数学思想；感悟

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“双基”被发展为“四基”，这有深刻的意义.“四基”的内涵和外延都十分丰富，怎样把握新增加的“一基”——数学的基本思想，这是在学习新课程标准中大家更为关心的问题.数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓.数学思想比较抽象，学生不容易领悟，如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想？我在四年级下册“商的变化规律”一课的教学中进行了尝试.

【片断回放】创设情境，探究规律

1探究商随被除数的变化而变化的规律（略）

师：回顾我们是怎样发现商的这一变化规律的？

小结：我们通过计算、观察、比较，初步发现了规律，再举例验证后概括规律.我们发现除数不变，商随着被除数的变化而变化.

2探究商随除数的变化而变化的规律

（出示情境题）学校买来200本图书，如果把这些图书平均分给2个班，每个班可以分得多少本？如果把这些图书平均分给20个班，每个班分得多少本？如果平均分给40个班呢？

学生独立计算，汇报，教师板书.

200÷2=100（本）

200÷20=10（本）

200÷40=5（本）

师：你能用刚才的方法研究这组算式的规律吗？仔细观察被除数、除数和商，什么数变了，什么数不变？

师：被除数不变，除数发生什么变化？商随着发生什么变化？先独立观察，比较这组算式，在工作纸上写一写，再把自己的发现在小组内说一说.

小组汇报，展示小组发现的规律.

生1：从上往下观察，被除数不变，除数扩大，商反而缩小；除数缩小，商反而扩大.

师：“反而”这个词用得好！为什么被除数不变，除数扩大，商反而缩小；被除数不变，除数缩小，商反而扩大呢？你能结合分书的事情来说明吗？

生1：因为被除数不变，就是图书的总本数不变，分给的班数越多，每个班分得的本数越少；分给的班数越少，每个班分得的本数就越多.

师：分析得真好！还能举出其他的例子说明这一规律吗？

生2：图书的总价不变，单价越贵，买的本数就越少；单价越便宜，买的本数越多.

生3：我从家到学校走的路程不变，走得越快，所用的时间越少；走得越慢，所用的时间越多.

师：能结合生活的情境来理解商的这一变化规律，真棒！还有其他例子吗？

生4：我们学过的五入法试商，被除数不变，除数估大，初商会偏小，所以商要调大.四舍法试商，被除数不变，除数估小，初商会偏大，商要调小.

师：你还会结合我们学过的试商和调商的方法来理解这一规律，真善于学习.

师：哪一组的同学也来说说你们的发现？

生5：从上往下观察，被除数不变，除数乘几，商反而除以几.从下往上观察，被除数不变，除数除以几，商反而乘几.

请具体说说你是怎样发现这一规律的.

学生任选两道算式举例说明发现的规律.

师：是不是所有的除法算式都有这样的规律？你能写两个算式来验证我们发现的规律吗？

学生尝试举例验证，汇报交流.

师：除数能不能是0？谁能用一句话来简单概括你们发现的规律？

生6：被除数不变，除数乘或除以几（0除外），商反而除以或乘相同的数.

师：概括得真好！回顾我们是怎样发现商的这一变化规律？

小结：同样，我们通过计算、观察、比较，发现规律，再举例验证，最后概括规律.我们发现被除数不变，商随着除数的变化而变化.

结合以上的教学片段，我有以下的几点思考.

一、借助情境，感悟数学思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.在义务教育阶段应结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思想.”学生对数学思想的感悟不可能一蹴而就，而是要经历逐步丰富、逐步拓展、逐步逼近的动态发展过程.

“商的变化规律”一课渗透函数的思想，由于受学生知识水平、认知能力和思维水平的局限，他们对函数思想的感悟往往也需要经历从模糊到清晰，从具体到抽象，从初步理解到简单应用的过程.教学片断中，我创设分书这一生活化的情境，学生先独立计算、观察、比较，再在小组内讨论发现的規律.通过交流，让学生初步感受“被除数不变，商随除数的变化而变化”这一函数的思想.为了突破难点，我着重借助具体情境帮助学生理解这一规律，并让学生举例说明.学生的思维很活跃，有的借助生活经验想到“图书的总数不变，分给的班数越多，每个班分得的本数越少；分给的班数越少，每个班分得的本数就越多”；“总价不变，单价越贵，数量越少；单价越便宜，数量越多”；“路程不变，速度越慢，时间越多；速度越快，时间越少”等生活中的例子，有的结合学过的试商方法来理解这一规律，“被除数不变，用四舍法试商，除数估小，商偏大”；“用五入法试商，除数估大，商偏小”.借助这些情境，使学生更透彻地理解商的这一变化规律，体会到除数和商变化的方向相反.同时通过联想、类比、举例，学生不断深入思考，逐步感悟到其中蕴涵的函数思想.我因势利导，让学生举例验证这一规律，最后用简洁的数学语言概括规律.经历这样的过程，学生对函数思想的认识要比教师直接讲结论印象深刻得多.

借助具体情境，学生积极参与数学学习活动，不仅使学习活动生动有趣，还使学生对数学思想感悟逐步深化，进而提升自身的数学素养.

二、自主探究，感悟数学思想

数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移.凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想，关键是让学生经历和体验一些数学知识的获取过程.

“商的变化规律”中商随除数变化而变化这一规律，学生不易理解.因此，新教材把这一规律移到商随被除数的变化而变化这一规律的后面.这一细微的变化非常符合学生的认知规律，让学生由浅入深地学习商的变化规律.本课我充分利用学生已有的知识和经验基础，先引导学生计算、观察、比较发现除数不变，商随被除数的变化而变化的规律.学生掌握了研究方法，在探索被除数不变，商随除数的变化而变化的规律时，我引导学生借助情境通过计算、观察、比较、归纳等数学活动，亲身经历商的变化规律的发现，概括，应用的过程，并在此基础上推广到商不变规律的研究.学生在发现规律、验证规律、概括规律的实践中，经历了数学化的学习过程，感悟到从特殊到一般的归纳思想，发展了初步的抽象、概括能力，为后续的学习做好准备.

三、回顾反思，感悟数学思想

数学思想的获得，一方面，是课中有意识地渗透，另一方面，还要靠学生在反思过程中深刻领悟.教学片断中我在小结时提问：“回顾我们是怎样发现商的这一变化规律的？”学生回顾反思，得出通过计算、观察、比较，初步发现规律，再举例验证，最后概括规律.此时我适时小结“我们发现被除数不变，商随着除数的变化而变化.”这节课不仅让学生发现规律，理解规律，还让学生在回顾反思中进一步深刻感悟到函数的思想及归纳思想，为后面学生自主探究商不变的规律打下基础.教师有意识地引导学生自觉地回顾反思自己的思维过程，使获得的数学思想更明晰、更深刻，引发学生对所学知识进行更深层次的思考.

总之，教师要自觉帮助学生在数学学习中潜移默化地感悟数学思想，使学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而逐步提高学生的数学素养.新教材中所蕴含的数学思想如此丰富，如何结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思想，是值得继续深入研究的问题.endprint