凸显信息化教学优势，激活数学微实验探究

渠怀莲

一、凸显信息化教学优势

依据导数的几何意义，运用几何画板作出导函数图像，学生很容易体会到求导公式的生成过程.本章侧重于对导数本质的认识，通过大量的实例由浅入深，由表及里，层层展示出其数学思想与方法，“局部以直代曲”的辩证思想逐步引申，建立起导数的数学模型，进而形成数学理论.

经过前面近5课时的学习，学生已经掌握了平均变化率、瞬时变化率，以及导数的定义和几何意义等相关知识，初步领悟了由特殊到一般、由具体到抽象等研究数学问题的基本思想方法.

二、激活数学微实验探究

教学目标：1.能根据导数的定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解；

2.掌握利用导数公式表求简单函数导数的方法；

3.体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展思维能力.

重点：利用导数的定义及导数公式表求简单函数的导数.

难点：通过概括、推广并猜想出幂函数的求导公式.

教法、学法：启发式教学；自主探究法、合作学习法等.

教学工具：普罗米修斯交互式电子白板、几何画板、多媒体投影机等.

教学过程：

（一）问题情境

在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？（求函数导数的一般步骤.gsp）

设计意图：通过复习回顾函数在一点处的导数定义，过渡到导函数的概念，并归纳出求导数的一般步骤.此处用几何画板演示“割线逼近切线”的过程及切点运动带动切线变化的过程，得出各点的导数是自变量x的函数即导函数.

（二）探究活动

用导数的定义求下列各函數的导数：

（1）f（x）=kx+b；（2）f（x）=C；（3）f（x）=x；（4）f（x）=x2；（5）f（x）=x3.（多媒体展台学生解答）

思考 由上面（3）、（4）及（5）的结果，你能发现什么一般规律吗？

答案 （xn）′=nxn-1（n∈N*）.

证明 方法一：数学归纳法（略）.

方法二：利用二项式定理（略）.

方法三：令a=x+Δx，b=x，

（4）ΔyΔx=a2-b2a-b=（a-b）（a+b）a-b=a+b.

（5）ΔyΔx=a3-b3a-b=（a-b）（a2+ab+b2）a-b=a2+ab+b2.

方法四：利用等比数列的前n项和公式证明：

an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn=an+1-bn+1a-b，

其中n∈N*，a，b是不为0的常数，且a≠b.

证明 当n=1时，由（3）知成立；

当n≥2时，令a=x+Δx，b=x，由预备公式知：

（x+Δx）n-xn（x+Δx）-x=（x+Δx）n-1+（x+Δx）n-2x+（x+Δx）n-3x2+…+xn-1，

并注意到，当Δx→0时，（x+Δx）n-1-kxk→xn-1，其中k=0，1，…，（n-1），共n项，

所以，当Δx→0时，（x+Δx）n-xnΔx→nxn-1，

即（xn）′=nxn-1（n∈N*）.

这里的n对正整数及零都成立，那么是否对负整数适用，甚至分数呢？我们现在验证一下：

（6）f（x）=1x；

（7）f（x）=x.（多媒体展台学生解答）

事实上，在我们的猜想中，公式（xn）′=nxn-1（n∈N*）指数为无理数时也成立，比如，n=2.因我们所学知识有限，现在还不能给出详尽的证明.

结论：（xα）′=αxα-1（α为常数）.

设计意图 充分调动学生探究求导公式的生成过程及理论支撑，引导学生用定义推导几个初等函数的导数公式，注重规范化书写的常规训练；同时，使学生进一步体会导数的思想和内涵以及归纳推理在数学发现中的作用.

（三）回顾小结

在线查询导数：http：//baike.baidu.com/view/30958.htm

1.求函数导数的方法.

2.掌握几个常见函数导数的定义求法和基本初等函数的导数公式.

3.研究数学问题的基本方法：由特殊到一般、由具体到抽象.

（四）作业要求

1.完成教材P20第5、6、7题；

2.课外探究：自选基本初等函数求导表中一个公式证明.

教学反思：

1.凸显信息化教学的优势

教学中充分运用交互式电子白板、几何画板、网络资源等将抽象的数学理论知识具体化、形象化，吸引学生注意力及提升学生的探究兴趣.在平时教学中，要多利用信息技术的功能优势调控教学活动，将其恰当地作为资源环境、交流环境、知识表达与加工工具，引导学生有效地投入到学习与探究之中，促进学生学习能力发展.

2.体现新课标调控的理念

在幂函数求导公式的探究过程中，依指数的取值情境——正整数、零、负整数、分数及无理数进行有效探究，并给出了指数是正整数时的证明，利用了等比数列相关知识，体现出知识点的融合及网络框架建构的历程.让学生体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展思维能力.

3.打破中庸化思维的束缚

教学中要依据学生的最近发展区知识储备进行高效教学，对于本节知识点来说，如果仅讲授几个公式的运用，而没有相应的生成过程及理论支撑，学生的思维层次是无法提升到一定高度的.在平时教学中，我们就要敢于打破中庸化思维的束缚——不求出彩但求无错，真正为学生的思维发展奠基，关注学生的终身发展，而不是一味地盯住分数，陷于题海，做无尽头的机械训练.

【参考文献】

[1]范晖.“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思[J].中学数学月刊，2013（2）：25-26.

[2]陈孟算，陈敬星.“导数问题中的难点及解决方法举例”教学设计[J].数学学习与研究，2012（17）：20-21.endprint