“一道解析几何题”教学的几点思考

陈润

题目 已知两点M（-1，0），N（0，1），动点P满足OP=αOM+βON，其中α2+β2=1，α，β∈R.

（1）求动点P的轨迹方程；（2）求PM·PN的取值范围.

一、考点解析

1.本题第一问涉及简单向量化简，而后代换求轨迹问题，难度不大.第二问通过简单的向量计算后得到一个二元二次式，而后求二元二次式所对应的取值范围（是本题的难点）.

2.本题主要考查考生应用换元法进行化归的能力.高中数学对换元思想有很高的要求，在函数、解析几何等知识中都有很高的应用要求.

二、题目解析

解 （1）设P的坐标为P（x，y），

则由OP=αOM+βON，得（x，y）=（-α，β），

∴x=-α，y=β. ∵α2+β2=1，α，β∈R，

∴x2+y2=1，即为P的轨迹方程.

（2）设P（x，y），则PM=（-1-x，-y），PN=（-x，1-y），

∴PM·PN=-x（-1-x）+（-y）（1-y）=x2+y2+x-y.

以下针对第二问分四种方法进行解答：

法一 ∵x2+y2=1，∴PM·PN=x-y+1.

∵x2+y2=1，令x=cosθ，y=sinθ， θ∈[0，2π），

∴x-y+1=cosθ-sinθ+1=2cosθ+π4+1，θ∈[0，2π）.

∵θ+π4∈π4，9π4，∴cosθ+π4∈[-1，1]，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

法二 ∵x2+y2=1，∴PM·PN=x-y+1.

令u=x-y+1，则y=x-u+1，代入x2+y2=1得

2x2+（2-2u）x+u2-2u=0.

由Δ=（2-2u）2-8（u2-2u）≥0，

∴1-2≤u≤1+2，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

法三 ∵x2+y2=1，∴PM·PN=x-y+1.

令u=x-y+1，則y=x-u+1.

∵P满足x2+y2=1，也满足y=x-u+1，

∴圆与直线有公共点，

即|-u+1|12+（-1）2≤11-2≤u≤1+2，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

法四 ∵PM·PN=x2+y2+x-y

=x+122+y-122-12

=x+122+y-1222-12.

而x+122+y-1222表圆x2+y2=1上的动点P到点-12，12的距离.

圆心（0，0）到-12，12的距离

d=0+122+0-122=22.

∵圆的半径r=1，

∴x+122+y-1222∈1-222，1+222，

∴x+122+y-1222∈32-2，32+2，

即PM·PN∈[1-2，1+2].

三、学情与教学对策

1.该考点要求能熟练地利用换元和化归思想.学生对换元、化归的思想的理解没形成系统，对学生有难度.

2.该题的相关知识点在平面向量、三角函数、直线与圆、参数方程等都有涉及.相关的思想教学是高中教学的重点.

3.从此题来看，数学的教学应注重思想的教学，同时应注重知识点间的关联性.学生在学习中应该注意知识点的整合，对知识点的学习应该把重心放到思想悟化上来.很多学生在学习过程中，老是学啥会啥，学啥忘啥，诱因就是学习的重心停留在记忆和模仿上.对知识点的整合和对思想的悟化应成为学生学习的重要突破口.

四、试题的拓展、变式分析

1.此题的解析思想可用于函数的解析式、值域、消元降次、不等式等的求解.

举例如下：

（1）若f（x）=x，求f（x）；

（2）求f（x）=x+1-x2的值域；

（3）若点（x，y）是圆x2+y2=1上的点，求x+y的最值；

（4）圆x2+（y-1）2=1上的动点P（x，y）使得x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围.

以上问题用换元、三角代换、数形结合等方法能进行解决.

2.试题的改编分析

（1）第一问可改变题干的内容，让求出的动点轨迹方程是圆、椭圆、双曲线、抛物线等，

例如，将α2+β2=1改为α42+β2=1，α42-β2=1，β=α42，则分别得到椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程.

（2）第二问可改为下列问题：

① 求二元一次式的范围，例如，求ax+by+c的取值范围；

② 求二元二次式的范围，例如，求x2+y2+Dx+Ey+F（D2+E2-4F>0）的取值范围；

③ 求某类分式的取值范围，例如，求y-bx-a的取值范围；

④ 求某类含绝对值式的取值范围，例如，求|ax+by+c|的取值范围；

⑤ 求某类含根号式的取值范围，例如，求（x-a）2+（y-b）2的取值范围.

以上问题用消元、三角代换、线性与非线性规划、数形结合等方法能进行解决.

3.命题趋势

第一问求动点轨迹方程多以圆、椭圆、双曲线、抛物线出现，新课标下圆的地位要引起足够的重视.

第二问的题型多以求一元一次式、含参数的一元一次式、分式为主，新课标下一元一次式、含参数的一元一次式要引起足够的重视.endprint