数学中的审辨式思维

王俊行

【摘要】审辨式思维是一种判断命题是否为真或是否部分为真的思维方式.审辨式思维概括为“不懈质疑，包容异见，力行担责”.审辨式思维不是简单的黑与白，而是表现为一个研究范式不断更替、不断转换的过程，这是一个未有穷期的演进过程.从数学的三次危机的爆发到解决，可以看到审辨式思维在数学发展中起到了非常关键的作用，敢于挑战权威不断质疑，使数学发展得更加完美.审辨式思维必定在今后的数学研究中发挥出应有的作用.

【关键词】审辨式思维；数学发展；三次危机

一、审辨式思维

审辨式思维是一种判断命题是否为真或是否部分为真的思维方式.审辨式思维的源头在西方可以追溯到古希腊时苏格拉底的方法，在东方可以追溯到古印度佛教的《卡拉玛经》（一部以倡导怀疑精神为突出特色的经典）和《论藏》等佛教经典.审辨式思维概括为“不懈质疑，包容异见，力行担责”[1].具有审辨式思维能力是创新型人才的重要心理特征.具备审辨式思维的人，对于复杂的问题，不轻易相信所谓的“科学真理”，不相信唯一的标准答案，认为不同前提条件和假设能够得到不同的结论，同一事物具有多面性.具有审辨式思维能力的人思想解放、勇于创新、绝不保守.

二、审辨式思维在数学发展中的作用

数学的三次危机都是审辨式思维的运用的典型案例，成功地化解危机，完善和推进了数学的发展.第一次数学危机：古希腊著名哲学家芝诺（约公元前490年到公元前425年）提出的四条悖论是第一次数学危机的诱因之一.他对毕达哥拉斯学派的质疑引发了数学上的一次革命，从而定义了无理数.令人遗憾的是希帕索尔被保守的毕达哥拉斯学派投入了大海，以生命推进了数学的发展.第二次数学危机：在17、18世纪围绕微积分的基础定义发展开展的一场讨论，其中一个关键的问题就是无穷小量究竟是不是0？無穷小及其分析是否合理？从而引起了数学阶段第二次危机.罗尔甚至说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”波尔查诺、阿贝尔、柯西等数学家长达半个多世纪对这些问题的审辨解决了18世纪数学思想的不严密性，完善了微积分理论，无穷小、无穷大更加熠熠生辉.第二次危机没有阻碍到微积分的发展和广泛应用，反而推进了微积分在物理天文中等更广阔领域的发展.对微积分的审辨远远没有结束，马克思在他的《数学手稿》中就明确指出求导运算应该是严格的、特定的00，批判了所谓的“无限趋近”的说法.第三次数学危机：这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的.这些悖论演绎成各种通俗易懂的数学故事，最著名的是罗素于1919年给出的理发师问题：理发师公布了一个原则，他给本村中所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里的这样的人刮脸.当有人问他是否给自己刮脸时悖论就出来了：如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮脸，那么按照原则就该为自己刮脸，自相矛盾.因为集合概念已经渗透到众多的数学分支，成为数学的基础，因此，引起了对数学的怀疑.危机的逐渐解决直接促进了公理集合论的发展.当然，第三次数学危机是一次深刻的危机，一些问题还在继续的审辨之中，对它的不断质疑必将推动数学的进一步发展.

非欧几何的发展也是审辨式思维运用的成果.从数学史知道在罗巴切夫斯基（N.Lobatchky）、高斯（C.Gauss）创立非欧几何前，受传统思想的束缚，1 800多年几乎所有数学家都认为欧氏几何是物质世界和此空间内的图形性质的正确理想化.实际上欧式几何对平行线的公设做了大量的解释，并且在运用中也非常谨慎，能避开不用时尽量不用，显示出了极不自信.正是因为高斯、罗巴切夫斯基、兰伯特等人运用审辨式思维对前人的质疑，从而出现了非欧几何，几何学才从传统的束缚中解放出来，大批几何学产生了.所以M·克莱因认为：“数学是一门知识体系，但它却不含任何真理.”[2]克莱因之所以认为数学中没有真理，一方面，是因为数学的一些分支中的定理与另外一些分支中的定理是相左的[3].所谓真理是放之四海而皆准，是经过理论—实践—再理论—再实践的过程.然而，数学作为抽象理论，有些是无法检验的或者是现代理论无法验证，如平行公设、无穷小、无穷大、n维空间等等.克莱因认为科学是在寻求关于物质世界的真理，而数学并非如此.他虽然否认数学中存在真理，但他深信数学是人们征服自然的神奇力量.数学一直在审辨中发展，不断地质疑促进了科技的进步和人类的发展.爱因斯坦曾经说过：“科学行之有效，但它是否就是真理.”这个观点和克莱因不谋而合.数学被称为科学皇冠上的那颗明珠，越来越深刻地影响着人们的思维，改变着人类非黑即白的观念，引导着人们“不懈质疑，包容异见，力行担责”.数学在不断地质疑中不断发展.英国大数学家怀特海曾预言：“在人类思想领域，具有压倒性的新的情况将是数学地理解问题占统治地位.”[4]

三、审辨式思维方法为数学研究打通了一条通途

进入20世纪中叶，在哲学界、科学界等学术共同体中，对绝对真理持以根本的怀疑和高度的警惕成为主流，并逐渐影响到其他学科和一般大众.审辨式思维以此为基础在数学领域发扬光大，从亚里士多德到牛顿，从牛顿到爱因斯坦，他们的理论都是正确的，都是科学的，然而都只是在某个范式下正确、科学.在不同的研究背景下可以得到不同的结果，没有一元的本质（essence），只有多元的特质（trait）.论证与反驳一起，构成了思辨的核心，数学的发展必定在审辨中前行.

【参考文献】

[1]谢小庆.审辨式思维[M].上海：学林出版社，2016.

[2]邓东皋，孙小礼.数学文化[M].北京：北京大学出版社，1990.

[3]孙宏涛.小议数学发展的哲学问题及其在数学与计算机科学关系中的表现[J].数学的实践与认识，2003（1）：101-110.

[4]黄祥.数学方法论[M].重庆：重庆大学出版社，1995.endprint