对多值函数的支点在教学中的一点思考

2018-02-03王玉磊李彩娟张瑶

数学学习与研究 2018年1期

关键词：支点

王玉磊+李彩娟+张瑶

【摘要】初等多值函数是复变函数教学中的难点和重点.想要分出它的单值解析分支，就必须找到它的所有支点.本文结合自己的教学体会，从多值函数的多值性原因出发，给出了判断支点的具体步骤，使学生能更好地掌握这部分内容.

【关键词】多值函数；辐角；支点

【基金项目】2017年度河南省教师教育课程改革研究项目（2017-JSJYZD-068）.

一、引言

初等多值函数是复变函数教学中的难点和重点，对于只有单个有限支点的多值函数，利用限制辐角的方法就可以分出它的单值解析分支，但对于有多个有限支点的多值函数就不能使用该方法.需要我们先求出它所有的支点，然后适当连接支点以割破平面就能分出它的单值解析分支.如何找到它的支点就变成了首要问题.学生在学习这部分内容时普遍感觉比较难，尤其是文献[1]中的具有多个有限支点的多值函数，其支点的判断更加復杂.在教学中，如果处理不好这一环节，会使学生对这部分内容理解欠缺，难以接受.本文结合笔者在教学过程中的体会，对如何找多值函数的支点这部分内容，以f（z）=nP（z）为例，提出一些教学思路以供参考.

二、定义和引理

定义1[1] 一般地，具有这种性质的点，使得当变点z绕这点一整周回转至原来位置时，函数值与原来的值相异，则称此点为多值函数的支点.

定义2[2] 设C是z平面内一条不经过原点的简单曲线，z1是起点，z2是终点.当变点z沿C从z1连续变动到z2时，oz所旋转的角称为辐角函数argz沿C的连读改变量，简称为辐角改变量，记为ΔCargz.显然，ΔCargz=argz2-argz1.

引理1[1] 设有非零复数z1，z2，则arg（z1z2）=argz1+argz2.

利用上述引理可得下面结论：

推论1 设有有限个非零复数z1，z2，…，zn，则

arg（z1z2…zn）=argz1+argz2+…+argzn.

特别地，argzn=nargz，argz1n=1narg（z1n）n=1nargz，其中n为正整数.

三、f（z）=nP（z）的支点判断

设f（z）=nP（z），其中P（z）是N次多项式，

P（z）=A（z-a1）α1（z-a2）α2·…·（z-am）αm，

a1，a2，…，am是P（z）的一切相异零点，α1，α2，…，αm分别是它们的重数，满足α1+α2+…+αm=N.

对于这类问题，首先，要帮学生分析它产生多值的原因；其次，分析函数f（z）的终值较初值发生改变的因子是什么，并且是怎么样得到的；再次，如何求这个因子；最后，用支点定义来判断是否为支点.循序渐进，帮助学生更好地理解这个难点.下面就给出解决这个问题的思路.

第一步从恒等式f（z）=|f（z）|ei·argf（z）出发，可以看出它产生多值的原因是f（z）的辐角的多值性导致的.

第二步在z平面上任取一点z0，以z0为圆心作一个充分小的圆周C，当动点z绕C一整周时，考察函数f（z）的辐角变化.不妨在C上任取一点作为起点，记此时f（z）的辐角为arg1f（z），函数值为f1（z）；当动点z绕C一整周又回到起点位置时，记f（z）的辐角为arg2f（z），函数值为f2（z）.不难得出，ΔCargf（z）=arg2f（z）-arg1f（z）.由于同一点处函数值的模相等，所以

f2（z）=|f2（z）|ei·arg2f（z）=|f1（z）|ei·[arg1f（z）+ΔCargf（z）]

=|f1（z）|ei·arg1f（z）ei·ΔCargf（z）=f1（z）·ei·ΔCargf（z）.

从上面式子中可以发现，函数值有没有发生改变取决于因子ei·ΔCargf（z）.

第三步把求f（z）的辐角改变量转化为求关于自变量的辐角改变量.利用推论1可以得到

ΔCargf（z）=arg2f（z）-arg1f（z）

=1n[arg2A+α1arg2（z-a1）+…+αmarg2（z-am）]-1n[arg1A+α1arg1（z-a1）+…+αmarg1（z-am）]

=1n[α1ΔCarg（z-a1）+…+αmΔCarg（z-am）].

这里A为常数与z无关，所以arg1A=arg2A.

第四步利用支点的定义可得，若ei·ΔCargf（z）≠1，则z0是函数f（z）的支点；若ei·ΔCargf（z）=1，则z0不是函数f（z）的支点.

四、小结

上述方法对于判断其他多值函数的支点同样可行，比如，w=lnf（z）的支点即可按照此法求得，可把此问题留给学生课下思考，提高学生的学习积极性.总之，教学有法，教无定法.在教学中只要认真钻研教材，坚持以学生为本，由浅入深，循序渐进，就一定能够帮助学生牢固基础、掌握知识.

【参考文献】