关于Lucas数立方与二项式数的卷积公式

陈 小 芳

(渭南师范学院数理学院, 陕西 渭南 714099)

1 预备知识与结论

Lucas数列以及二项式系数的各种性质一直都是组合数学和数论中引得众多专家、学者关注的课题，而包含Lucas数的恒等式及包含二项式系数的恒等式更是引起国内外学者的研究兴趣。

(1)

对于l(k,m,n)的计算，文献[1]研究了广义杨辉三角与Lucas数列的卷积l(k,1,n)，得到了m=1的情形，即：l(k,1,n)=2kLn+2k，文献[2]讨论了杨辉三角与Lucas数列的卷积l(k,1,n)，给出了m=2的情形，证明了

本文讨论l(k,m,n)当m=3时的情形，得到了二项式系数与Lucas数立方的一个恒等式，证明了下面的定理1。

(2)

其中的L3k+2n和Ln-k分别为第3k+2n个和第n-k个Lucas数。

2 定理1的证明

由此可知

(3)

由式(3)及式(1)可知

(4)

由二项式定理可知：

(5)

(6)

(7)

(8)

将式(5)、(6)、(7)、(8)代入式(4)得

l(k,3,n)=α3k·(1+α3)n+3(-1)kαk·(1-α)n+3(-1)kβk·(1-β)n+β3k·(1+β3)n。

(9)

又

1-α=β，1-β=α，1+α3=2α2，1+β3=2β2，

将其代入式(9)有

l(k,3,n)=α3k(1+α3)n+3(-1)kαk(1-α)n+3(-1)kβk(1-β)n+β3k(1+β3)n=α3k(2α2)n+3(-1)kαkβn+3(-1)kβkαn+β3k(2β2)n= 2nα3k+2n+3(-1)kαkβn+3(-1)kβkαn+2nβ3k+2n。

(10)

当k≥n时，

l(k,3,n)=2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)kαnβn(αk-n+βk-n)= 2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)k+n(αk-n+βk-n)= 2nL3k+2n+3(-1)k+nLk-n。

(11)

同理k

l(k,3,n)=2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)kαkβk(αn-k+βn-k)= 2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)k+k(αn-k+βn-k)= 2nL3k+2n+3Ln-k。

(12)

综合式(11)、(12)得

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