高考数学卷里的亮点

刘冰

2017年，高考考试大纲修订内容中增加了对数学文化的要求，但是高考数学试题中早就出现过以数学文化为背景的新颖命题，经过持续发展，在2018年高考中呈现出了求新、求变的效果.把历史和文化内容引入高考数学，为高考数学题打上了文化的烙印.教师应在平时的教学中弘扬中国传统文化，吸收世界文化的精华，引导学生胸怀祖国，放眼世界.

例1（2018年全国新课标I，理10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

A.p1=p2 B.p1=p3     C.p2=p3   D.p1=p2+p3

解析：设AB=a，AC=b，BC=■设整个图形的面积为S

则p1=■，p2=■{■+■-[■-■ab]}=■=p1

故选A.

【数学文化】古希腊数学家希波克拉底发现的一条平面几何里应用广泛的优美定理——月牙定理，指以直角三角形两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.本题依据这一定理考查几何概型问题.

例2（2017年全国卷II，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A.1盏           B.3盏           C.5盏              D.9盏

解析：设顶层灯数为a1，q=2，s7=■=381，解得a1=3.故选B.

【数学文化】《算法统宗》，又名《直指算法统宗》《新编直指算法统宗》，明代数学家程大位撰，共17卷.

1592年编成《算法统宗》共列算题595道，以珠算为主要的计算工具，卷一介绍数学常识，卷二介绍珠算，卷三以后分别为方田、粟布、衰分、少广、分田截积、商功、均输、盈亏、方程、勾等，第十七卷附以难题杂法，又列有14个纵横图.本题以数学史中《算法统宗》的一个问题为包装，考查数列问题.

例3（2016年全国新课标II，理8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，实现该算法的程序框图见下页.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=        .

（A）7  （B）12  （C）17  （D）34

解析：第一次运算：s=0×2+2=2，

第二次运算：s=2×2+2=6，

第三次运算：s=6×2+5=17，

故选C.

【数学文化】秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在著作《数书九章》中提出了这一先进的多项式简化算法.

一般一元n次多项式的求值需要经过■次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法.在人工计算时，大大简化了运算过程.本题以数学史中《秦九韶算法》的问题为背景，考查程序框图问题.

例4（2015年全国卷II，理8）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a =       .

（A）0                （B）2

（C）4                （D）14

解析：逐次運行程序，直至程序结束得出a .

a = 14，b = 18.

第一次循环：14≠18且14<18，b = 18-14 = 4;

第二次循环：14≠4且14>4，a =14 -4=10;

第三次循环：10≠4且10>4，a = 10-4 = 6;

第四次循环：6≠4且6>4，a = 6-4 = 2;

第五次循环：2≠4且2<4，b = 4-2 = 2;

第六次循环：a = b = 2，跳出循环，输出a = 2，

故选B.

【数学文化】更相减损术出自《九章算术》中的求最大公约数的算法，原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合.本题将更相减损术与程序框图相结合，加大了该问题的考查难度.考生若能看出此程序框图的功能，便很容易解决.

例5（2015年湖北卷，理2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为